Lecturer and Coach (School Edu. Dept.) - Comp. Exam-2025 (Mathematics)(Paper-II)
All LECTURER AND COACH (SCHOOL EDU. DEPT.) COMP. EXAM 2025 papers
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Published by the Rajasthan Public Service Commission on 11/06/2026.
- Q1
$(\frac{x}{2} - \frac{3}{x^2})^{10}$ के प्रसार में $x^4$ का गुणांक है / The coefficient of $x^4$ in the expansion of $(\frac{x}{2} - \frac{3}{x^2})^{10}$ is:
Why CUsing the general term formula for the binomial expansion of $(\frac{x}{2} - \frac{3}{x^2})^{10}$, we find the term containing $x^4$ and evaluate its coefficient, which simplifies to $\frac{405}{256}$.
- Q2
यदि एक गुणोत्तर श्रेणी में अनन्त पदों का योग $20$ है तथा पदों के वर्गों का योग $100$ हो, तो इस गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात है : / If the sum of infinite number of terms in a Geometric Progression (G.P.) is $20$ and the sum of squares of the terms is $100$, then the common ratio of this Geometric Progression is:
Why BGiven the sum to infinity $S = \frac{a}{1-r} = 20$ and the sum of squares $S_2 = \frac{a^2}{1-r^2} = 100$, dividing the equations gives the common ratio $r = \frac{3}{5}$.
- Q3
यदि $x = a + b$, $y = a\alpha + b\beta$, $z = a\beta + b\alpha$, जहाँ $a, b$ अशून्य वास्तविक संख्याएँ तथा $\alpha, \beta$ इकाई के सम्मिश्र घनमूल हैं, तो $xyz$ बराबर है : / If $x = a + b$, $y = a\alpha + b\beta$, $z = a\beta + b\alpha$, where $a, b$ are non-zero real numbers and $\alpha, \beta$ are complex cube roots of unity, then $xyz$ is equal to :
Why DUsing the properties of the cube roots of unity $\alpha$ and $\beta$ (where $\alpha, \beta = \omega, \omega^2$), the product $xyz$ simplifies algebraically to $(a + b)(a\alpha + b\beta)(a\beta + b\alpha)$, which equals $a^3 + b^3$.
- Q4
श्रेणी $3 \log_e 2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4})^2 + \frac{1}{3} (\frac{1}{4})^3 - \dots \infty$ का योग है : / Sum of the series : $3 \log_e 2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4})^2 + \frac{1}{3} (\frac{1}{4})^3 - \dots \infty$, is :
Why Bलघुगणकीय श्रेणी प्रसार $\log_e(1+x)$ और दी गई श्रृंखला के पदों का संयोजन करने पर, इस अनंत श्रेणी का कुल योग सरल होकर $\log_e 10$ के बराबर आता है।
- Q5
निम्न रैखिक समीकरण निकाय रखता है : $2x + 3y + 2z = 9$ $3x + 2y + 2z = 9$ $x - y + 4z = 8$ / The following system of linear equations has : $2x + 3y + 2z = 9$ $3x + 2y + 2z = 9$ $x - y + 4z = 8$
Why ACalculating the determinant of the coefficient matrix yields a non-zero value, which implies by Cramer's rule that the system of linear equations has a unique solution.
- Q6
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -\alpha \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$ के लिये, यदि $A \cdot A^T = I_2$ हो, तो $\alpha^6 + \beta^6$ का मान बराबर है : / For the matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & -\alpha \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$, if $A \cdot A^T = I_2$, then the value of $\alpha^6 + \beta^6$ is equal to :
Why BGiven $A \cdot A^T = I_2$, multiplying the matrix by its transpose and equating it to the identity matrix gives relations for $\alpha$ and $\beta$, leading to $\alpha^6 + \beta^6 = 1$.
- Q7
$\begin{vmatrix} \sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{vmatrix} = 0$, के अन्तराल $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ में भिन्न-भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या है : / The number of distinct real roots of $\begin{vmatrix} \sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{vmatrix} = 0$ in the interval $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ is :
Why BExpanding the determinant and solving for $x$ in the given interval yields only $1$ distinct real root, as other values fall outside the specified range or do not satisfy the equation.
- Q8
समीकरण निकाय $2mx - 2y + 3z = 0$ $x + my + 2z = 0$ $2x + mz = 0$, का एक ऐसा हल विद्यमान हो जिसमें $x, y$ तथा $z$ के मान एक साथ शून्य नहीं हों, तो $m$ का वास्तविक मान है / A solution of system of equations $2mx - 2y + 3z = 0$ $x + my + 2z = 0$ $2x + mz = 0$ exists in which values of $x, y$ and $z$ are not simultaneously zero, then real value of $m$ is
Why AFor a non-trivial solution to exist for the homogeneous system of linear equations, the determinant of the coefficient matrix must be set to zero, which gives $m = 2$.
- Q9
रेखाएँ $3x - 4y + 4 = 0$ तथा $6x - 8y - 7 = 0$, एक ही वृत्त पर स्पर्श-रेखाएँ हैं, तो वृत्त की त्रिज्या है : / If the lines $3x - 4y + 4 = 0$ and $6x - 8y - 7 = 0$ are tangents to the same circle, then the radius of the circle is :
Why Bदी गई दो समांतर स्पर्श रेखाएँ $3x - 4y + 4 = 0$ और $6x - 8y - 7 = 0$ (जिसे $3x - 4y - 3.5 = 0$ भी लिख सकते हैं) के बीच की दूरी वृत्त का व्यास होती है। व्यास निकालने के लिए दोनों समांतर रेखाओं के अचर पदों का अंतर लेकर सूत्र का उपयोग करते हैं, जिससे वृत्त की त्रिज्या $\frac{3}{4}$ इकाई प्राप्त होती है।
- Q10
वृत्त $x^2 + 4x + (y - 3)^2 = 0$ पर स्थित बिन्दु $A(0, 3)$ से एक जीवा $AB$ खींची जाती है तथा इसे एक बिन्दु $P$ तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि $AP = 2 AB \mid P$ के बिन्दुपथ का समीकरण है : / From the point $A(0, 3)$ lying on the circle $x^2 + 4x + (y - 3)^2 = 0$, a chord $AB$ is drawn and extended to a point $P$ such that $AP = 2 AB$. The equation of the locus of $P$ is :
Why CUsing section formula and the given relation $AP = 2AB$ where $A(0,3)$ lies on the circle $x^2 + 4x + (y - 3)^2 = 0$, the locus of point $P$ is found by shifting and scaling coordinates, resulting in $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0$.
- Q11
यदि वृत्त $x^2 + y^2 + ax = 0$ तथा $x^2 + y^2 - 3x + y + b = 0$, परस्पर लम्बकोणीय काटते हों, तो $\frac{a}{b}$ का मान है / If circles $x^2 + y^2 + ax = 0$ and $x^2 + y^2 - 3x + y + b = 0$ intersect orthogonally, then value of $\frac{a}{b}$ is :
Why Bदो वृत्तों के लम्बकोणीय (orthogonal) प्रतिच्छेदन के लिए प्रतिबन्ध $2g_1 g_2 + 2f_1 f_2 = c_1 + c_2$ होता है। इसे मान रखकर हल करने पर $a$ और $b$ के बीच सम्बन्ध से $\frac{a}{b} = -\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
- Q12
$P(2, 2)$, $Q(6, -1)$ और $R(7, 3)$ एक त्रिभुज के शीर्ष हैं। यदि $PS$ इस त्रिभुज की माध्यिका है, तो $(1, -1)$ से गुजरने वाली और $PS$ के समान्तर रेखा का समीकरण है : / $P(2, 2)$, $Q(6, -1)$ and $R(7, 3)$ are the vertices of a triangle. If $PS$ be the median of this triangle, then equation of the line passing through $(1, -1)$ and parallel to $PS$ is :
Why Bशीर्षों $P(2,2)$, $Q(6,-1)$ और $R(7,3)$ से माध्यिका $PS$ का मध्यबिन्दु $S$ ज्ञात करके $PS$ की ढाल निकाली जाती है। इसके पश्चात बिन्दु $(1, -1)$ से गुजरने वाली और $PS$ के समान्तर रेखा का समीकरण $2x + 9y + 7 = 0$ प्राप्त होता है।
- Q13
शीर्षों $(0, 0)$, $(3, 4)$ तथा $(4, 0)$ वाले त्रिभुज का लम्बकेन्द्र है / Orthocentre of triangle with vertices $(0, 0)$, $(3, 4)$ and $(4, 0)$ is
Why Cत्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$, $(3, 4)$ और $(4, 0)$ दिए गए हैं। मूलबिन्दु $(0, 0)$ से गुजरने वाले लम्ब की रेखा $x = 3$ होती है और संगत गणना करने पर लम्बकेन्द्र के निर्देशांक $\left(3, \frac{3}{4}\right)$ प्राप्त होते हैं।
- Q14
रेखा $\frac{a}{r} = b \cos \theta + c \sin \theta$ के लम्बवत् रेखा का ध्रुवीय समीकरण है : ($k$ एक अचर है) / The polar equation of a line perpendicular to the line $\frac{a}{r} = b \cos \theta + c \sin \theta$, is : ($k$ is a constant)
Why Bध्रुवीय रूप में दी गई रेखा के लम्बवत् रेखा का समीकरण प्राप्त करने के लिए $\theta$ को $\theta - \frac{\pi}{2}$ से प्रतिस्थापित किया जाता है, जिससे $\sin$ और $\cos$ के गुणांक परस्पर बदल जाते हैं और सही विकल्प $\frac{k}{r} = b \sin \theta - c \cos \theta$ बनता है।
- Q15
परवलय $y^2 + 4y + 4x + 2 = 0$ की नियता का समीकरण है / The equation of the directrix of the parabola $y^2 + 4y + 4x + 2 = 0$ is :
Why Dपरवलय के समीकरण $y^2 + 4y + 4x + 2 = 0$ को मानक रूप $(y+2)^2 = -4(x - \frac{1}{2})$ में बदलकर मानक सूत्रों का उपयोग करने पर नियता का समीकरण $x = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
- Q16
एक दीर्घवृत्त की अर्ध-लघु अक्ष $OB$ है। $S$ तथा $S'$ इसकी नाभियाँ तथा कोण $SBS'$ समकोण है, तो दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता है : / An ellipse has $OB$ as a semi-minor axis. $S$ and $S'$ are its foci and the angle $SBS'$ is a right angle. Then, the eccentricity of the ellipse is :
Why Cदीर्घवृत्त के नाभियों $S(-ae, 0)$ और $S'(ae, 0)$ तथा अर्ध-लघु अक्ष $OB(0, b)$ के साथ कोण $SBS'$ समकोण होने पर समकोण त्रिभुज के गुणों से $b^2 = ae^2$ या उत्केन्द्रता $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होती है।
- Q17
फलन $f(x) = \left\{x - |x| + \frac{|x|}{x}\right\}$, मूलबिन्दु पर / At the origin, function $f(x) = \left\{x - |x| + \frac{|x|}{x}\right\}$ is
Why Cफलन $f(x) = \left\{x - |x| + \frac{|x|}{x}\right\}$ में मूलबिन्दु पर $x - |x|$ संतत है, जबकि $\frac{|x|}{x}$ (सिग्नम फलन का एक भाग) $x=0$ पर परिभाषित नहीं होने के कारण असंतत है। अत: फलन मूलबिन्दु पर असंतत है क्योंकि वहाँ $\frac{|x|}{x}$ असंतत है।
- Q18
यदि फलन $f(x^5) = 5x^3$ हो, तो $f'''(1)$ बराबर है / If function $f(x^5) = 5x^3$, then $f'''(1)$ is equal to :
Why CLetting $t = x^5$, we have $f(t) = 5x^3$. Differentiating with respect to $x$ and finding successive derivatives at $x=1$ yields $f'''(1) = \frac{42}{25}$.
- Q19
यदि $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} = a(x-y)$ हो, तो $\frac{dy}{dx}$ बराबर है : / If $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} = a(x-y)$, then $\frac{dy}{dx}$ is equal to :
Why Bदिए गए समीकरण में $x = \sin\theta$ और $y = \sin\phi$ प्रतिस्थापित करने पर तथा अवकलन करने पर सरल होकर $\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}$ प्राप्त होता है।
- Q20
$\lim_{x \to 0} \left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)\right]^{\frac{1}{x}}$ का मान है / The value of $\lim_{x \to 0} \left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)\right]^{\frac{1}{x}}$ is
Why Cसीमा $\lim_{x \to 0} \left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)\right]^{\frac{1}{x}}$ का रूप $1^\infty$ है, जिसे $e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\tan(\frac{\pi}{4}+x) - 1)}$ के रूप में हल करने पर $e^2$ मान प्राप्त होता है।
- Q21
फलन $f(x) = 4e^{2x} + 9e^{-2x}$ का न्यूनतम मान है / The minimum value of the function $f(x) = 4e^{2x} + 9e^{-2x}$ is :
Why Cअंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य असमानता (AM-GM Inequality) का उपयोग करने पर, $4e^{2x} + 9e^{-2x} \ge 2 \sqrt{4e^{2x} \cdot 9e^{-2x}} = 2 \cdot \sqrt{36} = 12$ प्राप्त होता है।
- Q22
$\int \frac{\sin\left(\frac{5x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} dx =$ / $\int \frac{\sin\left(\frac{5x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} dx =$
Why Bसमाकल $\int \frac{\sin(5x/2)}{\sin(x/2)} dx$ को हल करने के लिए अंश को त्रिकोणमितीय योग-अंतर सूत्रों का उपयोग करके सरल बनाया जाता है, जिससे प्रत्येक पद का समाकलन करने पर विकल्प B वाला फलन प्राप्त होता है।
- Q23
यदि रोली मध्यमान प्रमेय फलन $f(x) = x^3 - ax^2 + bx - 4; x \in [1, 2]$, जहाँ $f'\left(\frac{4}{3}\right) = 0$ पर प्रभावी है, तो $a$ और $b$ के मान हैं / If Rolle's mean value theorem holds for the function $f(x) = x^3 - ax^2 + bx - 4; x \in [1, 2]$, where $f'\left(\frac{4}{3}\right) = 0$, then values of $a$ and $b$ are :
Why Cरोले के प्रमेय के अनुसार $f(1) = f(2)$ होना चाहिए तथा $f'(x) = 3x^2 - 2ax + b$ में $x = \frac{4}{3}$ रखने पर $f'\left(\frac{4}{3}\right) = 0$ का उपयोग करके $a = 5$ और $b = 8$ प्राप्त होते हैं।
- Q24
यदि फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ हो, तो $f'(0)$ बराबर है / If function $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$, then $f'(0)$ is equal to :
Why Cफलन $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ को $x > 0$ के लिए $\frac{x}{1+x}$ और $x < 0$ के लिए $\frac{x}{1-x}$ लिखा जा सकता है। दोनों तरफ से $x=0$ पर प्रथम अवकलज निकालने पर इसका मान 1 प्राप्त होता है।
- Q25
समाकल $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(x^2 + \log_e \frac{\pi - x}{\pi + x}\right) \cos x \, dx$ का मान है / The value of the integral $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(x^2 + \log_e \frac{\pi - x}{\pi + x}\right) \cos x \, dx$ is :
Why Bसमाकल्य फलन में गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_{-a}^{a} f(-x)dx$ का उपयोग करने पर, विषम फलन वाला भाग शून्य हो जाता है और सम फलन वाले भाग को हल करने पर निश्चित समाकल का मान $\frac{\pi^2}{2} - 4$ प्राप्त होता है।
- Q26
वक्रों $y^2 \le 2x$ तथा $y \ge 4x - 1$ से घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) है : / The area (in sq. units) of region bounded by curves $y^2 \le 2x$ and $y \ge 4x - 1$, is :
Why Cवक्र $y^2 \le 2x$ (परवलय) और रेखा $y \ge 4x - 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की सीमाओं के बीच समाकलन (integration) करने से घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{9}{32}$ वर्ग इकाई प्राप्त होता है।
- Q27
$\int \frac{2x^3 - 1}{x^4 + x} \, dx =$ / $\int \frac{2x^3 - 1}{x^4 + x} \, dx =$
Why Cसमाकल $\int \frac{2x^3 - 1}{x^4 + x} dx$ को हल करने के लिए अंश और हर को व्यवस्थित करते हैं। इसे लघुगणकीय समाकलन विधि से हल करने पर सही उत्तर $\log_e \left|\frac{x^3 + 1}{x}\right| + C$ प्राप्त होता है।
- Q28
यदि $\vec{a} = \hat{i} - \hat{k}, \vec{b} = x\hat{i} + \hat{j} + (1 - x)\hat{k}$ तथा $\vec{c} = \hat{y}\hat{i} + x\hat{j} + (1 + x - y)\hat{k}$ हो, तो $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का मान निर्भर करता है / If $\vec{a} = \hat{i} - \hat{k}, \vec{b} = x\hat{i} + \hat{j} + (1 - x)\hat{k}$ and $\vec{c} = \hat{y}\hat{i} + x\hat{j} + (1 + x - y)\hat{k}$, then the value of $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ depends upon :
Why Cसदिशों $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ का अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ निकालने पर सारणिक का मान शून्य आता है, जिसका अर्थ है कि यह न तो $x$ पर और न ही $y$ पर निर्भर करता है।
- Q29
चतुष्फलक का आयतन, जिसके शीर्षों के स्थिति सदिश $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$, $(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$, $(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ तथा $(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ हों, होगा : / Volume of a tetrahedron, position vector of whose vertices are $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$, $(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$, $(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ and $(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$, will be :
Why Bचतुष्फलक का आयतन सूत्र $\frac{1}{6} |[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}]|$ का उपयोग करके शीर्षों के स्थिति सदिशों से ज्ञात किया जाता है, जो हल करने पर $\frac{4}{3}$ इकाई आता है।
- Q30
माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$, $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$ और $\vec{c} = 5\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $|\vec{a}|$ है। यदि $(\vec{a} + \vec{b})$, $\vec{c}$ के लम्बवत् है, तो $|\vec{b}|$ बराबर है / Let $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$, $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$ and $\vec{c} = 5\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$ be three vectors such that the projection of $\vec{b}$ on $\vec{a}$ is $|\vec{a}|$. If $(\vec{a} + \vec{b})$ is perpendicular to $\vec{c}$, then $|\vec{b}|$ is equal to
Why Cदिए गए प्रतिबंधों—कि सदिश $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $|\vec{a}|$ है और $(\vec{a} + \vec{b})$ सदिश $\vec{c}$ के लम्बवत् है—को हल करने पर अदिश गुणनफल के नियमों द्वारा $|\vec{b}| = 6$ प्राप्त होता है।
- Q31
माना $\vec{\alpha} = 3\hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{\beta} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$। यदि $\vec{\beta} = \vec{\beta}_1 - \vec{\beta}_2$, जहाँ $\vec{\beta}_1$, $\vec{\alpha}$ के समान्तर है और $\vec{\beta}_2$, $\vec{\alpha}$ के लम्बवत् है, तो $\vec{\beta}_2$ बराबर है / Let $\vec{\alpha} = 3\hat{i} + \hat{j}$ and $\vec{\beta} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$. If $\vec{\beta} = \vec{\beta}_1 - \vec{\beta}_2$ where $\vec{\beta}_1$ is parallel to $\vec{\alpha}$ and $\vec{\beta}_2$ is perpendicular to $\vec{\alpha}$, then $\vec{\beta}_2$ is equal to
Why Cसदिश $\vec{\beta}$ को $\vec{\beta}_1$ (जो $\vec{\alpha}$ के समान्तर है) और $\vec{\beta}_2$ (जो $\vec{\alpha}$ के लम्बवत् है) के घटकों में वियोजित करने के लिए, $\vec{\beta}_1 = \lambda \vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}_2 = \vec{\beta}_1 - \vec{\beta}_2$ का उपयोग किया जाता है। शर्त $\vec{\beta}_2 \cdot \vec{\alpha} = 0$ लागू करने पर सही घटक $-\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} - 3\hat{k}$ प्राप्त होता है।
- Q32
निम्न आँकड़ों का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन है : $$\begin{array}{c|ccccc} x: & 3 & 9 & 17 & 23 & 27 \\ \hline f: & 8 & 10 & 12 & 9 & 5 \end{array}$$ / The mean deviation about mean of the following data is : $$\begin{array}{c|ccccc} x: & 3 & 9 & 17 & 23 & 27 \\ \hline f: & 8 & 10 & 12 & 9 & 5 \end{array}$$
Why Bदिए गए बारंबारता बंटन के लिए माध्य की गणना करके, माध्य से विचलनों के निरपेक्ष मानों का माध्य विचलन निकालने पर सही मान 7.09 प्राप्त होता है।
- Q33
3-अंकों की एक संख्या यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। इस संख्या के कम से कम 2 अंकों के विषम होने की प्रायिकता है : / A 3-digit number is selected at random. The probability that at least two digits of this number is odd, is :
Why BTotal 3-digit numbers are $900$. The numbers with at least two odd digits can be counted by considering cases where 2 or 3 digits are odd, yielding a probability of $\frac{19}{36}$.
- Q34
यदि एक द्विपद बंटन में, $X$ द्विपद विचर है, $n = 2$ है तथा सफलता की प्रायिकता $p = 0.6$ है, तो $\left(\frac{X}{3}\right)$ का प्रसरण है : / If in a binomial distribution, $X$ is binomial variate, $n = 2$ and probability of success $p = 0.6$, then variance of $\left(\frac{X}{3}\right)$ is :
Why BFor a binomial distribution, variance of $X$ is $npq = 2 \times 0.6 \times 0.4 = 0.48$. Using the property of variance, $\text{Var}\left(\frac{X}{3}\right) = \frac{1}{9}\text{Var}(X) = \frac{0.48}{9} \approx 0.053$.
- Q35
माना $\vec{a}, \vec{b}$ तथा $\vec{c}$ तीन सदिशों के परिमाण क्रमशः $1, 1$ तथा $2$ हैं। यदि $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{b} = \vec{0}$ हो, तो $\vec{a}$ तथा $\vec{c}$ के मध्य न्यूनकोण है / Let $\vec{a}, \vec{b}$ and $\vec{c}$ be three vectors having magnitudes $1, 1$ and $2$ respectively. If $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{b} = \vec{0}$, then the acute angle between $\vec{a}$ and $\vec{c}$ is
Why Aसदिश त्रिक गुणन के सूत्र $\vec{a} \times (\vec{a} \times (\vec{c})) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c}$ का उपयोग करने और दिए गए समीकरण $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{b} = \vec{0}$ को हल करने पर, $\vec{a}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
- Q36
एक कम्पनी के मोटरसाइकिल बनाने के दो संयंत्र हैं। संयंत्र I मोटरसाइकिल का $70\%$ तथा संयंत्र II $30\%$ बनाता है। संयंत्र I में मोटरसाइकिल की मानक उत्पादकता की दर $80\%$ तथा संयंत्र II में मानक उत्पादकता की दर $90\%$ है। एक मोटरसाइकिल यादृच्छिक रूप से चुनने पर मानक उत्पादकता दर वाली पायी जाती है। इसकी संयंत्र II से आने की प्रायिकता है : / A company has two plants to manufacture bikes. Plant I manufactures $70\%$ of the bikes and Plant II manufactures $30\%$. At Plant I, $80\%$ of the bikes are rated as standard quality and at Plant II, $90\%$ of the bikes are rated as standard quality. A bike is chosen at random and is found to be of standard quality. The probability that it comes from Plant II, is :
Why BUsing Bayes' Theorem, the probability that the standard quality bike comes from Plant II is $\frac{0.30 \times 0.90}{0.70 \times 0.80 + 0.30 \times 0.90} = \frac{0.27}{0.56 + 0.27} = \frac{27}{83}$.
- Q37
क्रमचय $f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ के लिए यदि $f^n = \text{तत्समक क्रमचय हो, तो } n \text{ का न्यूनतम मान है}$ / For a permutation $f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$, if $f^n = \text{Identity permutation, then minimum value of } n \text{ is}$
Why Cक्रमचय $f$ को चक्रीय रूप (disjoint cycles) में लिखने पर यह $(2 3 4)$ अर्थात लंबाई 3 का चक्र बनता है, इसलिए $f^n$ को तत्समक क्रमचय बनाने के लिए $n$ का न्यूनतम मान 3 होगा।
- Q38
कोटि 12 के चक्रीय समूह के जनकों की कुल संख्या है / The total number of generators of a cyclic group of order 12 is
Why DThe total number of generators of a cyclic group of order $n$ is given by Euler's totient function $\phi(n)$. For a cyclic group of order 12, the number of generators is $\phi(12) = \phi(2^2 \times 3) = 12(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3}) = 4$.
- Q39
दो निष्पक्ष पासों को एक साथ तब तक उछाला जाता है, जब तक कि प्राप्त संख्याओं का योग या तो 5 या 7 न आ जाए। तब योग 7 से पहले 5 आने की प्रायिकता है : / A pair of fair dice is rolled together till a sum of obtained numbers is either 5 or 7. Then, the probability that sum 5 comes first before 7 is :
Why Bदो पासों के उछाल में योग 5 आने की अनुकूल प्रायिकता $P(5) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है और योग 7 आने की प्रायिकता $P(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है। 7 आने से पहले 5 आने की प्रायिकता का सूत्र $P(5 occurs before 7) = \frac{P(5)}{P(5) + P(7)}$ का उपयोग करने पर $\frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
- Q40
यदि $H = \{(1), (1\,2)\}$ तथा $K = \{(1), (1\,3)\}$ एक सममित क्रमचय समूह $S_3$ के दो उपसमूह हैं, तब निम्न में से कौन सा सत्य है ? / If $H = \{(1), (1\,2)\}$ and $K = \{(1), (1\,3)\}$ are two subgroups of a symmetric permutation group $S_3$, then which of the following is true ?
Why Bसममित समूह $S_3$ में उपसमूह $H = \{(1), (1\,2)\}$ और $K = \{(1), (1\,3)\}$ के लिए, समुच्चय गुणन $HK$ और $KH$ संवृत या समान नहीं होते हैं क्योंकि $S_3$ एक आबेदी (abelian) समूह नहीं है, जिससे $HK \neq KH$ सत्य सिद्ध होता है।
- Q41
क्षेत्र का अभिलक्षण है / The characteristic of a field is
Why AThe characteristic of a general field (like real, rational, or complex numbers) is typically 0 unless specified as a finite field of prime characteristic. / एक सामान्य क्षेत्र (जैसे वास्तविक या परिमेय संख्याओं का क्षेत्र) का अभिलक्षण (characteristic) 0 होता है।
- Q42
यदि किसी समूह $G$ के दो प्रसामान्य उपसमूह $N_1$ तथा $N_2$ हो, तो निम्न कथनों में से कौन सा कथन सदैव सत्य है ? / If $N_1$ and $N_2$ are two normal subgroups of a group $G$, then which of the following statement is always true ?
Why AThe intersection of any two normal subgroups and the product of any two normal subgroups of a group are always normal subgroups. / किसी समूह के दो प्रसामान्य उपसमूहों का सर्वनिष्ठ (intersection) तथा उनका गुणन (product) दोनों ही हमेशा प्रसामान्य उपसमूह होते हैं।
- Q43
किसी समूह $G$ के दो उपसमूहों का संघ $G$ का एक उपसमूह होता है, यदि और केवल यदि / The union of two subgroups of a group $G$ is a subgroup of $G$ if and only if
Why DThe union of two subgroups of a group $G$ is a subgroup if and only if one of them is contained in the other. / किसी समूह $G$ के दो उपसमूहों का संघ (union) एक उपसमूह होता है यदि और केवल यदि उनमें से एक उपसमूह दूसरे का उपसमुच्चय (subset) हो।
- Q44
यदि $p$ एक अभाज्य संख्या तथा $G$, $p^3$ कोटि का एक अक्रमविनिमय समूह है, तो समूह $G$ के केन्द्र में अवयवों की संख्या है / If $p$ is a prime number and $G$ is a non-abelian group of order $p^3$, then number of elements in the centre of $G$ is
Why AFor a non-abelian group $G$ of order $p^3$, the order of the centre $Z(G)$ cannot be $p^3$ (since it's non-abelian) and cannot be $p^2$ (as a quotient group $G/Z(G)$ would be cyclic, forcing $G$ to be abelian), hence the order of the centre is $p$. / $p^3$ कोटि के एक अक्रमविनिमय समूह के केन्द्र की कोटि $p$ होती है।
- Q45
एक विभाग वलय तथा एक क्षेत्र में अवयव होने चाहिए : / A division ring and a field must contain :
Why BBy definition, a division ring and a field must contain at least two distinct elements (the additive identity 0 and the multiplicative identity 1). / एक विभाग वलय (division ring) और एक क्षेत्र (field) में कम से कम दो भिन्न अवयव (0 और 1) होने आवश्यक हैं।
- Q46
निम्न कथनों I तथा II में से कौन सा/कौन से कथन सत्य है/हैं ? I : वलय $R = [Z_5, +_5, \times_5]$ में उचित गुणनावली नहीं है। II : यदि $2Z$ तथा $3Z$ पूर्ण संख्याओं की वलय $(Z, +, \times)$ की गुणनावली है, तब $2Z \cup 3Z$ भी $(Z, +, \times)$ की गुणनावली होगी। / Which of the following statement/s and II is/are true ? I : Ring $R = [Z_5, +_5, \times_5]$ has no proper ideal. II : If $2Z$ and $3Z$ are ideals of ring $(Z, +, \times)$ of integers, then $2Z \cup 3Z$ is also an ideal of $(Z, +, \times)$
Why AStatement I is true because $Z_5$ is a field and a field has no proper ideals. Statement II is false because the union of two ideals is not necessarily an ideal (e.g., $2Z \cup 3Z$ is not closed under addition). / कथन I सत्य है क्योंकि $Z_5$ एक क्षेत्र है जिसकी कोई उचित गुणनावली नहीं होती, जबकि कथन II असत्य है क्योंकि दो गुणनावली का संघ (union) आवश्यक नहीं कि गुणनावली हो।
- Q47
यदि $R$, योग संक्रिया के लिए वास्तविक संख्याओं का समूह है तथा $R^+$ गुणन संक्रिया के लिए धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समूह है, तब प्रतिचित्रण $f: R \rightarrow R^+$ जो $f(x) = e^x$, $\forall x \in R$ से परिभाषित है, है / If $R$ is the additive group of real numbers and $R^+$ the multiplicative group of positive real numbers, then the mapping $f: R \rightarrow R^+$ defined by $f(x) = e^x$, $\forall x \in R$ is
Why DThe mapping $f(x) = e^x$ satisfies $f(x+y) = e^{x+y} = e^x e^y = f(x)f(y)$, making it a homomorphism. Since it is both one-to-one (injective) and onto (surjective) from $R$ to $R^+$, it is an isomorphism. / प्रतिचित्रण $f(x) = e^x$ एक समाकारिता है जो एक-एक (one-one) तथा आच्छादक (onto) दोनों है, इसलिए यह एक तुल्याकारिता (isomorphism) है।
- Q48
रूपान्तरण $w = \frac{2z + 3}{z - 4}$ जहाँ $z = x + iy$, $w = u + iv$ वृत्त $x^2 + y^2 - 4x = 0$ को किस सरल रेखा पर रूपान्तरित करता है ? / Transformation $w = \frac{2z + 3}{z - 4}$ where $z = x + iy, w = u + iv$ transforms the circle $x^2 + y^2 - 4x = 0$ into the straight line :
Why DSolving the bilinear transformation $w = \frac{2z+3}{z-4}$ for $z$ gives $z = \frac{4w+3}{w-2}$. Substituting $z = x+iy$ and $w = u+iv$ into the given circle equation $x^2 + y^2 - 4x = 0$ (or equivalently using the property that circles map to lines when the denominator vanishes on the circle) yields the straight line $4u + 3 = 0$.
- Q49
चार सम्मिश्र बिन्दुओं $z_1, z_2, z_3, z_4$ का वज्रानुपात वास्तविक होता है, यदि और केवल यदि ये बिन्दु हैं / Cross ratio of four complex points $z_1, z_2, z_3, z_4$ is real if and only if these points are
Why BThe cross ratio of four distinct complex points is real if and only if all four points lie on a common circle or a straight line (concyclic or collinear). In complex analysis, this geometric property characterizes concyclic points in the extended complex plane.
- Q50
$p$ के किस मान के लिए परिभाषित फलन $w = \rho(z) = \rho(\cos \phi + i \sin \phi), z = \log \rho + i\phi$ वैश्लेषिक नहीं है ? / For what values of $\rho$, the function $w$ defined by $w = \rho(z) = \rho(\cos \phi + i \sin \phi), z = \log \rho + i\phi$ ceases to be analytic ?
Why BThe function involves terms related to $\log \rho$, and as $\rho \to \infty$ or $\rho \to 0$, the logarithmic term and corresponding derivatives become undefined or singular. Thus, the function ceases to be analytic at $\rho = \infty$.
- Q51
फलन $f(z) = \sin x \cos hy + i \cos x \sin hy$ है / Function $f(z) = \sin x \cos hy + i \cos x \sin hy$ is
Why AThe given function $f(z) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$ is recognized as $\sin(x + iy) = \sin z$. Since $\sin z$ is an entire function, it is everywhere continuous and analytic.
- Q52
परवलय $y^2 = 12x$ के बिन्दु $(3, 6)$ पर वक्रता केन्द्र का $x$-निर्देशांक है / $x$-coordinate of centre of curvature at point $(3, 6)$ of parabola $y^2 = 12x$ is
Why Cपरवलय $y^2 = 12x$ के लिए वक्रता केन्द्र के निर्देशांकों के सूत्र का उपयोग करने पर बिन्दु $(3, 6)$ पर $x$-निर्देशांक का मान 15 प्राप्त होता है।
- Q53
वक्र $\theta = -\frac{1}{r} \cdot \sqrt{a^2 - r^2}$ के लिए ध्रुवीय अधःस्पर्श की लम्बाई है / For the curve $\theta = -\frac{1}{r} \cdot \sqrt{a^2 - r^2}$, length of polar sub-tangent is
Why AThe length of the polar sub-tangent is given by the formula $r \frac{d\theta}{dr}$. Differentiating the given curve equation $\theta = -\frac{1}{r}\sqrt{a^2 - r^2}$ with respect to $r$ and substituting into the formula gives $\frac{a^2}{\sqrt{a^2 - r^2}}$.
- Q54
फलन $f(x, y) = 2x^4 + y^4 - 2x^2 - 2y^2$ का मान है / The function $f(x, y) = 2x^4 + y^4 - 2x^2 - 2y^2$ has value
Why DFinding the critical points of $f(x, y) = 2x^4 + y^4 - 2x^2 - 2y^2$ and applying the second derivative test reveals that the function achieves a local minimum value at the point $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right)$.
- Q55
वक्रों $r^2 = 16 \sin 2\theta$ तथा $r^2 \sin 2\theta = 4$ का प्रतिच्छेदन कोण है : / The angle of intersection of the curves $r^2 = 16 \sin 2\theta$ and $r^2 \sin 2\theta = 4$ is :
Why Dदोनों ध्रुवीय वक्रों के समीकरणों को हल करके उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने और उनके बीच के कोण का सूत्र लगाने पर प्रतिच्छेदन कोण $\frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
- Q56
समाकल $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^5}} \, dx$ का मान बीटा फलन के रूप में है / Value of integral $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^5}} \, dx$ in terms of beta function is
Why Bदिए गए समाकल में $x^5 = t$ प्रतिस्थापित करने पर $5x^4 dx = dt$ प्राप्त होता है, जिससे सीमाएं और पद परिवर्तित होकर बीटा फलन के रूप में $\frac{1}{5}\operatorname{B}\left(\frac{3}{5}, \frac{3}{2}\right)$ का रूप लेते हैं।
- Q57
वृत्त $r = 2 \cos \theta$ के क्षेत्र पर, $\int \int r^2 \, d\theta \, dr$ का मान है / The value of $\int \int r^2 \, d\theta \, dr$ over the region of the circle $r = 2 \cos \theta$ is
Why Aवृत्त $r = 2 \cos \theta$ के क्षेत्र पर समाकल $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{2\cos\theta} r^2 dr d\theta$ की गणना करने पर ध्रुवीय निर्देशांकों के समाकलन नियमों के अनुसार सही उत्तर $\frac{32}{9}$ प्राप्त होता है।
- Q58
अर्धघन परवलय $3y^2 = x^3$ के शीर्ष से बिन्दु $(3, 3)$ तक की चाप की लम्बाई है / The length of the arc of the semi-cubical parabola $3y^2 = x^3$ from its vertex to the point $(3, 3)$ is
Why Bवक्र $3y^2 = x^3$ की शीर्ष से बिन्दु $(3,3)$ तक की चाप की लंबाई के सूत्र $s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$ का उपयोग करके समाकलन करने पर सही उत्तर $\frac{1}{9}[13\sqrt{13} - 8]$ इकाई प्राप्त होता है।
- Q59
वक्र $r\theta = a$ की अनन्तस्पर्शी है / The asymptote of the curve $r\theta = a$ is
Why BFor the curve $r\theta = a$, as $\theta \to 0$, $r \to \infty$. Converting to Cartesian coordinates using $y = r \sin \theta = \frac{a}{\theta} \sin \theta$, taking the limit as $\theta \to 0$ gives $y = a$, which corresponds to the polar equation $r \sin \theta = a$.
- Q60
बेलन $x^2 + y^2 = 2ax$ तथा समतलों $z = x$, $z = 2x$ के मध्य काटे गए भाग का आयतन है / The volume of the intercepted part between the cylinder $x^2 + y^2 = 2ax$ and the planes $z = x$, $z = 2x$ is
Why DThe volume intercepted between the planes $z=x$ and $z=2x$ over the cylinder $x^2 + y^2 = 2ax$ is calculated by integrating $(2x - x) = x$ over the circular region, resulting in $\pi a^3$.
- Q61
अवकल समीकरण $\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{-3/2} = 0$ की कोटि है / The order of differential equation $\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{-3/2} = 0$ is
Why CDifferentiating the expression twice increases the differentiation order. The highest derivative involved in the simplified differential equation is the fourth derivative, making its order $4$.
- Q62
$\int \int_R x^{1/2} y^{1/2} (1 - x - y)^{3/2} \, dx \, dy$ का मान, जहाँ $R, x \ge 0, y \ge 0$ तथा $x + y \le 1$ से परिबद्ध क्षेत्र है, है / The value of $\int \int_R x^{1/2} y^{1/2} (1 - x - y)^{3/2} \, dx \, dy$, where $R$ is region bounded by $x \ge 0, y \ge 0$ and $x + y \le 1$ is
Why BUsing Dirichlet's integral or transforming into beta functions with parameters corresponding to the powers of $x, y$, and $(1-x-y)$, the value of the double integral evaluates to $\frac{2\pi}{315}$.
- Q63
अवकल समीकरण $y = px + a(1 + p^2)^{1/2}$ (जहाँ $p = \frac{dy}{dx}$ और $a \neq 0$) का विचित्र हल है / The singular solution of differential equation $y = px + a(1 + p^2)^{1/2}$ (where $p = \frac{dy}{dx}$ and $a \neq 0$) is
Why BClairaut's equation $y = px + a\sqrt{1 + p^2}$ has a singular solution obtained by eliminating $p$, which represents the envelope of the family of straight lines, forming a circle of radius $a$.
- Q64
निम्न में से कौन सा एक सही नहीं है ? / Which one of the following is not correct?
Why Dअवकल समीकरणों के सिद्धांत के अनुसार, c-विवेकक का प्रत्येक खण्ड (factor) आवश्यक रूप से अवकल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है, बल्कि यह अन्वालोप (envelope) या अन्य विशिष्ट हल हो सकते हैं। इसलिए विकल्प D वह कथन है जो सही नहीं है।
- Q65
आंशिक अवकल समीकरण $\frac{p}{x^2} + \frac{q}{y^2} = 3z$, (जहाँ $p = \frac{\partial z}{\partial x}, q = \frac{\partial z}{\partial y}$) का एक हल है - The particular integral of the partial differential equation $\frac{p}{x^2} + \frac{q}{y^2} = 3z$, (where $p = \frac{\partial z}{\partial x}, q = \frac{\partial z}{\partial y}$) is -
Why Aलाग्रेन्ज सहायक समीकरण विधि (Lagrange's auxiliary equations) का उपयोग करके दिए गए आंशिक अवकल समीकरण को हल करने पर, स्वतंत्र चरों के संयोजन से विकल्प A में दिया गया हल प्राप्त होता है।
- Q66
अवकल समीकरण $4x^2\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) + 8x\left(\frac{dy}{dx}\right) + y = \frac{4}{\sqrt{x}}$ का विशिष्ट समाकल है / The particular integral of the differential equation $4x^2\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) + 8x\left(\frac{dy}{dx}\right) + y = \frac{4}{\sqrt{x}}$ is
Why Cयह एक कॉशी-यूलर (Cauchy-Euler) समीकरण है। इसे प्रतिस्थापन $x = e^z$ द्वारा हल करने पर विशिष्ट समाकल $\frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}}$ प्राप्त होता है।
- Q67
मूलबिन्दु से गुजरने वाला तथा अवकल समीकरण $(xe^{-y} + 2x)dx + dy = 0$ को संतुष्ट करने वाला वक्र है / The curve, passing through the origin and satisfying the differential equation $(xe^{-y} + 2x)dx + dy = 0$, is
Why Dदिए गए समीकरण $(xe^{-y} + 2x)dx + dy = 0$ को हल करने के लिए चर पृथक्करण या समाकलन गुणांक का उपयोग करते हैं। मूलबिन्दु $(0,0)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण संतुष्ट करने पर सही उत्तर $y = \log\left[\frac{3}{2}e^{-x^2} - \frac{1}{2}\right]$ प्राप्त होता है।
- Q68
आंशिक अवकल समीकरण $(D^3 - 2D^2D' - DD'^2 + 2D'^3)z = e^{x+y}$ का विशिष्ट समाकल है (जहाँ $D = \frac{\partial}{\partial x}$ तथा $D' = \frac{\partial}{\partial y}$) The particular integral of the partial differential equation $(D^3 - 2D^2D' - DD'^2 + 2D'^3)z = e^{x+y}$ (where $D = \frac{\partial}{\partial x}$ and $D' = \frac{\partial}{\partial y}$) is
Why Cआंशिक अवकल समीकरण $(D^3 - 2D^2D' - DD'^2 + 2D'^3)z = e^{x+y}$ में जब हम $D = 1$ और $D' = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं, तो सहायक फलन शून्य हो जाता है, जिसके कारण नियम के अनुसार विशिष्ट समाकल में $x$ से गुणा होता है और सही हल $-\frac{x}{2}e^{x+y}$ प्राप्त होता है।
- Q69
रेखा समाकल $\int_C \frac{x^2 + xy + y^2}{z^2}ds$ का वक्र $C$ पर मान, जिसका सदिश समीकरण $\vec{r}(t) = (\cos t)\hat{i} + (\sin t)\hat{j} - \hat{k}$, जहाँ $0 \le t \le 2\pi$ तथा $s$ चाप की लम्बाई है, होगा Value of line integral $\int_C \frac{x^2 + xy + y^2}{z^2}ds$ over the curve $C$ whose vector equation is $\vec{r}(t) = (\cos t)\hat{i} + (\sin t)\hat{j} - \hat{k}$, where $0 \le t \le 2\pi$ and $s$ is arc length will be
Why Cवक्र $C$ के लिए $\vec{r}(t) = \cos t \hat{i} + \sin t \hat{j} - \hat{k}$ से $z = -1$, $ds = dt$, तथा $x^2 + xy + y^2 = 1 + \cos t \sin t$ होता है। इसे $0$ से $2\pi$ तक समाकलित करने पर कुल मान $2\pi$ प्राप्त होता है।
- Q70
आंशिक अवकल समीकरण $(x + 2z)p + (4zx - y)q = 2x^2 + y$ का एक हल है (जहाँ $p = \frac{\partial z}{\partial x}, q = \frac{\partial z}{\partial y}$) One of the solutions of partial differential equation $(x + 2z)p + (4zx - y)q = 2x^2 + y$ (where $p = \frac{\partial z}{\partial x}, q = \frac{\partial z}{\partial y}$) is
Why Aलाग्रांय के सहायक समीकरणों को समूहबद्ध करके हल करने पर दो स्वतंत्र समाकल $xy - z^2 = c_1$ और $x^2 - y - z = c_2$ प्राप्त होते हैं। अतः हल $\phi(xy - z^2, x^2 - y - z) = 0$ होगा।
- Q71
$\int_S \vec{F} \cdot \hat{n} dS$ का मान, जहाँ $\vec{F} = (2x + 3z)\hat{i} - (xz + y)\hat{j} + (y^2 + 2z)\hat{k}$, जहाँ $S$ एक गोला, जिसका केन्द्र $(3, -1, 2)$ तथा त्रिज्या $3$ हो, का पृष्ठ है, हैं The value of $\int_S \vec{F} \cdot \hat{n} dS$, where $\vec{F} = (2x + 3z)\hat{i} - (xz + y)\hat{j} + (y^2 + 2z)\hat{k}$ and $S$ is the surface of the sphere having centre at $(3, -1, 2)$ and radius $3$, is
Why Cगॉस के डाइवर्जेंस प्रमेय (Gauss's Divergence Theorem) का उपयोग करने पर, $\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(2x+3z) + \frac{\partial}{\partial y}(-xz-y) + \frac{\partial}{\partial z}(y^2+2z) = 2 - 1 + 2 = 3$ प्राप्त होता है। आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (3^3) = 36\pi$ को 3 से गुणा करने पर $108\pi$ प्राप्त होता है।
- Q72
यदि $\vec{H}$ कोई सतत अवकलनीय सदिश फलन हो और $S$ वक्र $C$ द्वारा घिरा हुआ कोई पृष्ठ हो तो $\int_S (\vec{\nabla} \times \vec{H}) \cdot \hat{n} dS$ बराबर है (जहाँ $\hat{n}$ पृष्ठ $S$ के किसी बिन्दु पर अभिलम्ब इकाई सदिश है) If $\vec{H}$ be any continuous differentiable vector function and $S$ is the surface enclosed by a curve $C$, then $\int_S (\vec{\nabla} \times \vec{H}) \cdot \hat{n} dS$ is equal to (where $\hat{n}$ the unit normal vector at any point of surface $S$)
Why BAccording to Stokes' Theorem, the surface integral of the curl of a vector function $\vec{H}$ over a surface $S$ is equal to the line integral of $\vec{H}$ around the boundary curve $C$, i.e., $\int_S (\vec{\nabla} \times \vec{H}) \cdot \hat{n} dS = \int_C \vec{H} \cdot d\vec{r}$.
- Q73
बिन्दु $(1, 2, 0)$ पर $f = xy + yz + zx$ का सदिश $2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ की दिशा में दिक् अवकलज का मान है / The value of directional derivative of $f = xy + yz + zx$ in the direction of the vector $2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ at the point $(1, 2, 0)$ is
Why Aदिक् अवकलज (directional derivative) निकालने के लिए पहले फलन $f$ का ग्रेडिएंट $(\nabla f)$ बिन्दु $(1, 2, 0)$ पर ज्ञात किया जाता है और फिर उसका दिए गए सदिश के एकांक सदिश के साथ अदिश गुणन (dot product) किया जाता है, जिससे मान $\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
- Q74
रेखाओं $\frac{x-4}{1} = -\frac{1}{2}(y+1) = z$ और $4x - y + 5z - 7 = 0, 2x - 5y - z - 3 = 0$ को अन्तर्विष्ट करने वाले समतल का समीकरण है / The equation of the plane containing the lines $\frac{x-4}{1} = -\frac{1}{2}(y+1) = z$ and $4x - y + 5z - 7 = 0, 2x - 5y - z - 3 = 0$ is
Why Bदी गई रेखाओं को अंतर्विष्ट (contain) करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करने के लिए पहली रेखा के बिंदु व दिशा अनुपातों और दूसरी रेखा (जो समतलों के प्रतिच्छेदन से दी गई है) का उपयोग करके समतल का समीकरण $x + 2y + 3z - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
- Q75
समतलों $y + z = 0, z + x = 0, x + y = 0$ तथा $x + y + z = 1$ से बनने वाले एक चतुष्फलक के दो सम्मुख कोरों के बीच की न्यूनतम दूरी है / The shortest distance between any two opposite edges of the tetrahedron formed by the planes $y + z = 0, z + x = 0, x + y = 0$ and $x + y + z = 1$ is
Why Bदिए गए समतलों द्वारा निर्मित चतुष्फलक के सम्मुख कोरों के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए ज्यामितीय समरूपता और सूत्र का प्रयोग किया जाता है। गणना करने पर इन सम्मुख कोरों के बीच की न्यूनतम दूरी $\sqrt{\frac{2}{3}}$ इकाई आती है।
- Q76
दो गोलों $x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 4y - 124 = 0$ तथा $x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 4y - 12z + 52 = 0$ के लिये निम्न में से कौन सा सत्य है? / Which of the following is true for the two spheres $x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 4y - 124 = 0$ and $x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 4y - 12z + 52 = 0$?
Why Bपहले गोले के केन्द्र $C_1(-4, 2, 0)$ तथा त्रिज्या $r_1 = 13$ और दूसरे गोले के केन्द्र $C_2(4, 2, 6)$ तथा त्रिज्या $r_2 = 9$ हैं। केन्द्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = 10$ है, जो कि दोनों त्रिज्याओं के अन्तर ($13 - 9 = 4$) और योग ($13 + 9 = 22$) के बीच स्थित है, अतः गोले एक दूसरे को अन्तः स्पर्श करते हैं (touch internally)।
- Q77
सरल रेखा जिसके दिक्-अनुपात $<3, 2, 1>$ है तथा जो बिन्दु $(1, 2, 3)$ से गुजरती है, का प्राचलिक समीकरण है / The parametric equation of straight line whose direction ratios are $<3, 2, 1>$ and which passes through the point $(1, 2, 3)$ is
Why AThe parametric equations of a straight line passing through a point $(x_1, y_1, z_1)$ with direction ratios $\langle a, b, c \rangle$ are given by $x = x_1 + at$, $y = y_1 + bt$, $z = z_1 + ct$. Substituting $(1, 2, 3)$ and $\langle 3, 2, 1 \rangle$ gives $x = 1 + 3t, y = 2 + 2t, z = 3 + t$.
- Q78
वृत्त $x^2 + y^2 = 4, z = 0$ से तथा गोले $x^2 + y^2 + (z - k)^2 = 9$ के केन्द्र से गुजरने वाले गोले की त्रिज्या 2 हो, तो $k$ बराबर है / Radius of sphere through the circle $x^2 + y^2 = 4, z = 0$ and passing through the centre of sphere $x^2 + y^2 + (z - k)^2 = 9$ is 2, then $k$ is equal to
Why Cदिए गए वृत्त $x^2 + y^2 = 4, z = 0$ से गुजरने वाले गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + \lambda z = 4$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि यह गोला दूसरे गोले $x^2 + y^2 + (z - k)^2 = 9$ के केन्द्र $(0, 0, k)$ से गुजरता है और इसकी त्रिज्या 2 दी गई है, इसे हल करने पर $k = \pm 2$ प्राप्त होता है।
- Q79
समीकरण $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ एक बेलन को निरूपित करती है, तो निम्न में से कौन सा कथन सही नहीं है ? / The equation $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$, represents a cylinder. Which of the following statements is not correct ?
Why DThe equation $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ lacking $z$ terms represents a cylinder whose generators are parallel to the z-axis. Therefore, the statement that its axis is equally inclined to all three axes is not correct.
- Q80
एक चर समतल इस प्रकार गति करता है कि इसके द्वारा तीनों निर्देशी अक्षों पर अन्तः खण्डों के व्युत्क्रमों का योग $k$(अचर) ($k \neq 0$) है, तो समतल किस बिन्दु से गुजरता है? / A variable plane moves so that the sum of reciprocals of its intercepts on the three coordinate axes is $k$(constant) ($k \neq 0$), then the plane passes through point
Why Dसमतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है जहाँ $a, b, c$ अन्तः खण्ड हैं। प्रश्ानुसार $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = k$ है, जिसे $\frac{1/k}{a} + \frac{1/k}{b} + \frac{1/k}{c} = 1$ लिखा जा सकता है, अतः यह $(\frac{1}{k}, \frac{1}{k}, \frac{1}{k})$ बिन्दु से गुजरता है।
- Q81
एकसमान तार AOB, O पर दो सीधे भागों में मोड़ा गया है, जिनके मध्य कोण $\theta$ है। OA और OB की लम्बाई क्रमशः a और b $(a \neq b)$ है। A सिरे से तार को लटकाने पर OB क्षैतिज रहता है, तो निम्न में से कौन सा सत्य है ? / A uniform wire AOB is bent at O into two straight portions inclined at an angle $\theta$. Also OA and OB being length a and $b(a \neq b)$ respectively. If OB is horizontal, when the wire is suspended from A, then which of the following is true ?
Why Aतार के संतुलन के लिए आघूर्णों का संतुलन उपयोग करने पर, OB के क्षैतिज रहने पर सही संबंध $\cos \theta = \frac{b^2}{a(a + 2b)}$ प्राप्त होता है।
- Q82
$2, \sqrt{3}, 5, \sqrt{3}$ तथा $2\text{ kg}$ भार के बल क्रमशः एक समषट्भुज के किसी एक शीर्ष से अन्य पाँच शीर्षों को मिलाने वाली रेखाओं की दिशा में क्रियाशील है। इसके परिणामी का परिमाण है : / Forces $2, \sqrt{3}, 5, \sqrt{3}$ and $2\text{ kg wt}$ respectively act in the direction of lines joining any vertex of a regular hexagon to its other five vertices, then magnitude of the resultant is :
Why Cसमषट्भुज के एक शीर्ष से अन्य पाँच शीर्षों की दिशा में बलों के संयोजन और उनके कोणों के आधार पर परिणामी बल का परिमाण $10\text{ kg wt}$ आता है।
- Q83
यदि $2x^2 + 3y^2 + 4z^2 + 2y(z - k) + 4z(x + k^2 + k) + 6xy = 0$, शंकु का समीकरण, जिसका शीर्ष मूलबिन्दु है, हो, तो k बराबर है / If $2x^2 + 3y^2 + 4z^2 + 2y(z - k) + 4z(x + k^2 + k) + 6xy = 0$ is equation of a cone with vertex at origin, then k is equal to
Why Bचूँकि समीकरण मूलबिन्दु से गुजरने वाले शंकु को निरूपित करता है, इसके समीकरण में कोई अचर पद नहीं होना चाहिए और इसके प्रथम कोटि के आंशिक अवकलनों को शून्य के बराबर रखने पर प्राचल $k$ का मान 0 प्राप्त होता है।
- Q84
एक कण सरल आवर्त गति में गमन करता है । यदि उसके केन्द्र से $3$ सेमी और $4$ सेमी की दूरी पर इसके वेग क्रमशः $8$ सेमी/से. और $6$ सेमी/से. हो, तो आवर्तकाल होगा : / A particle moves in simple harmonic motion. If its velocity be $8 \text{ cm/sec}$ and $6 \text{ cm/sec}$ when at a distance of $3 \text{ cms}$ and $4 \text{ cms}$ respectively from centre, then its periodic time is :
Why Cसरल आवर्त गति के वेग सूत्र $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ का उपयोग करके वेग और दूरियों के दो समीकरणों को हल करने पर आवर्तकाल $T = \pi$ सेकण्ड प्राप्त होता है।
- Q85
यदि किसी कण के अरीय तथा अनुप्रस्थ वेग सर्वदा एक दूसरे के समानुपाती हो, तो कण का पथ है : ($k$ समानुपाती चर है) / If the radial and transverse velocities of a particle are always proportional to each other, then the path of the particle is : ($k$ is proportional constant)
Why Aअरीय वेग $\dot{r}$ और अनुप्रस्थ वेग $r\dot{\theta}$ के समानुपाती होने की शर्त $\dot{r} = k r\dot{\theta}$ को समाकलित करने पर पथ का समीकरण $r = c e^{k\theta}$ प्राप्त होता है।
- Q86
यदि कणों को ऊर्ध्वाधर तल के किसी बिन्दु $O$ से $\sqrt{(2g)}$ वेग से विभिन्न प्रक्षेप्य कोणों से प्रक्षेपित किये जाते है, तो उनके पथों के शीर्षों का बिन्दुपथ है / If particles are projected from a point 'O' in a vertical plane at different angles of projection with velocity $\sqrt{(2g)}$, then locus of the vertices of their paths is
Why Cजब एक निश्चित वेग $\sqrt{2g}$ से विभिन्न प्रक्षेप्य कोणों पर कणों को प्रक्षेपित किया जाता है, तो उनके परवलयिक पथों के शीर्षों का बिन्दुपथ एक दीर्घवृत्त (ellipse) बनता है।
- Q87
छः समान दण्ड $AB, BC, CD, DE, EF$ तथा $FA$ प्रत्येक $W$ भार की हैं, और स्वच्छन्दतापूर्वक सिरों पर इस प्रकार से जुड़ी हुई हैं कि एक षड्भुज बनता है दण्ड $AB$ को क्षैतिज स्थिति में स्थिर रखा जाता है और $AB, DE$ के मध्य बिन्दुओं को एक डोरी से जोड़ा जाता है, तो डोरी में तनाव है / Six equal rods $AB, BC, CD, DE, EF$ and $FA$ are each of weight $W$ and are freely joined at their extremities so as to form a hexagon, the rod $AB$ is fixed in a horizontal position and the middle points of $AB$ and $DE$ are joined by a string. Then the tension of the string is
Why Cसममित षड्भुज और आघूर्ण संतुलन के सिद्धांतों द्वारा AB और DE के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाली डोरी में तनाव का मान $3W$ प्राप्त होता है।
- Q88
निम्न कथनों में से कौन सा/से सत्य है/हैं ? I. श्रेणी $\frac{1}{1^p} - \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} - \frac{1}{4^p} + \dots (p > 0)$ के लिए अभिसारी है। II. श्रेणी $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ अभिसारी है। III. श्रेणी $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$ अपसारी है। / Which of the following statements is/are correct ? I. For $p > 0$, the series $\frac{1}{1^p} - \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} - \frac{1}{4^p} + \dots$ is convergent. II. The series $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ is convergent. III. The series $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$ is divergent.
Why Aकथन I और II सत्य हैं क्योंकि वैकल्पिक श्रेणियाँ (alternating series) लाइबनिज परीक्षण द्वारा अभिसारी होती हैं, जबकि कथन III एक हार्मोनिफ़ श्रेणी है जो कि अपसारी होती है।
- Q89
श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n(n+1)}$ किस अन्तराल में एकसमान अभिसारी नहीं है ? / Series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n(n+1)}$ is not uniformly convergent in the interval
Why Dश्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n(n+1)}$ वीयरस्ट्रास एम-टेस्ट (Weierstrass M-test) के अनुसार परिबद्ध अंतरालों पर एकसमान अभिसारी होती है, लेकिन पूरे असीमित अंतराल $(0, \infty)$ पर यह एकसमान अभिसारी नहीं है।
- Q90
न्यूनतम ऊपरी परिबद्ध गुणधर्म के कथन अनुसार वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ का प्रत्येक ऊपरी परिबद्ध उपसमुच्चय का उच्चक $R$ में विद्यमान होता है। यह गुणधर्म किसके लिए आवश्यक है ? / Least upper bound property states that every non-empty subset of set of real numbers $R$ that is bounded above, has a supremum in $R$. This property is necessary for
Why Cवास्तविक संख्याओं की क्रम पूर्णता अभिगृहीत (Order completeness axiom) सीधे तौर पर न्यूनतम ऊपरी परिबद्ध गुणधर्म (LUB property) के समतुल्य होती है।
- Q91
$\mathbb{R}^2$ में सदिश योग व अदिश गुणन निम्न प्रकार परिभाषित हैं : सदिश योग : $\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 x_2, y_1 y_2)$ $\forall \mathbf{u} = (x_1, y_1), \mathbf{v} = (x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2$ अदिश गुणन : $\lambda \mathbf{u} = (\lambda x_1, \lambda y_1)$ $\forall \mathbf{u} = (x_1, y_1) \in \mathbb{R}^2$ तथा $\lambda \in \mathbb{R}$, तब निम्न में से कौन सा एक सही नहीं है ? / The vector addition and scalar multiplication on $\mathbb{R}^2$ are defined as follows: Vector addition : $\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 x_2, y_1 y_2)$ $\forall \mathbf{u} = (x_1, y_1), \mathbf{v} = (x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2$ Scalar multiplication : $\lambda \mathbf{u} = (\lambda x_1, \lambda y_1)$ $\forall \mathbf{u} = (x_1, y_1) \in \mathbb{R}^2$ and $\lambda \in \mathbb{R}$ : then which one of the following is not correct ?
Why Bदिए गए सदिश योग के अनुसार $\mathbf{u} + (-1)\mathbf{u}$ की गणना करने पर परिणाम $(x_1, y_1) + (-x_1, -y_1) = (x_1(-x_1), y_1(-y_1)) = (-x_1^2, -y_1^2)$ प्राप्त होता है जो सामान्यतः $(1, 1)$ के बराबर नहीं है, अतः विकल्प (B) सही नहीं है।
- Q92
यदि $W = \{(a, b, c) : a + b + c = 0\}$, सदिश समष्टि $\mathbb{R}^3$ की उपसमष्टि हो, तो $\dim W =$ / If $W = \{(a, b, c) : a + b + c = 0\}$ be a subspace of vector space $\mathbb{R}^3$, then $\dim W =$?
Why Cउपसमष्टि $W = \{(a, b, c) : a + b + c = 0\}$ में चरों की कुल संख्या 3 है और एक स्वतंत्र रैखिक प्रतिबंध ($a + b + c = 0$) है, इसलिए इसकी विमा $\dim W = 3 - 1 = 2$ होगी।
- Q93
फलनॉ की श्रेणी $\{f_n(x)\}$, जहाँ $f_n(x) = \frac{x}{n}$, $\forall x \in \mathbb{R}$, होगी / The sequence of functions $\{f_n(x)\}$, where $f_n(x) = \frac{x}{n}$, $\forall x \in \mathbb{R}$, is
Why Cफलन अनुक्रम $f_n(x) = \frac{x}{n}$ बिंदुशः फलन $f(x) = 0$ की ओर अभिसरित होता है, लेकिन एकसमान अभिसरणीयता की शर्त पूरे वास्तविक रेखा पर संतुष्ट नहीं होती है।
- Q94
रैखिक रूपान्तरण $T: V(F) \longrightarrow V'(F)$ की शून्यता होती है - (जहाँ $V(F)$ परिमित विमीय समष्टि है) / Nullity of a linear transformation $T: V(F) \longrightarrow V'(F)$ is - (where $V(F)$ is finite dimensional space)
Why Bरैखिक रूपान्तरण $T$ की शून्यता (Nullity) परिभाषा के अनुसार इसके शून्य समष्टि (Kernel or null space) की विमा होती है।
- Q95
एक दूरिक समष्टि में, यदि $A$ एक विवृत समुच्चय तथा $B$ एक संवृत समुच्चय हो, तो निम्न में से कौन सा सत्य है ? / In a metric space, if $A$ is open set and $B$ is closed set, then which of the following is true ?
Why Aसमुच्चयों के सिद्धांत और टोपोलॉजी के अनुसार, $B - A = B \cap A^c$ होता है। चूंकि $A$ विवृत है, इसका पूरक $A^c$ संवृत होगा, और दो संवृत समुच्चयों का सर्वनिष्ठ एक संवृत समुच्चय होता है।
- Q96
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 6 & -3 & -2 \ 4 & -1 & -2 \ 10 & -5 & -3 \end{bmatrix}$ है - (जहाँ $C$ तथा $\mathbb{R}$, क्रमशः सम्मिश्र तथा वास्तविक संख्याओं के समुच्चय है।) / The matrix $A = \begin{bmatrix} 6 & -3 & -2 \ 4 & -1 & -2 \ 10 & -5 & -3 \end{bmatrix}$ is - (Where $C$ and $\mathbb{R}$ are sets of Complex and Real numbers respectively.)
Why Cदिए गए आव्यूह $A$ के आइगेन मान निकालने पर यह पाया जाता है कि इसके सभी आइगेन मान भिन्न हैं और इसके पास पर्याप्त रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors हैं, जिससे यह सम्मिश्र संख्या समुच्चय $C$ पर विकर्णनीय (diagonalizable) हो जाता है।
- Q97
माना $((0, 1], d)$ कोई दूरिक समष्टि है, जहाँ $d(x, y) = |x - y|$, तब अनुक्रम $\{x_n\} = \left\{\frac{1}{n}\right\}$, $n \in \mathbb{N}$ के लिए असत्य कथन है / Let $((0, 1], d)$ be any metric space, where $d(x, y) = |x - y|$, then for sequence $\{x_n\} = \left\{\frac{1}{n}\right\}$, $n \in \mathbb{N}$; false statement is
Why Bदूरिक समष्टि $((0, 1], d)$ में अनुक्रम $\{1/n\}$ की सीमा $0$ है, जो कि इस समष्टि के अंतर्गत नहीं आती है, इसलिए यह अनुक्रम इस दूरिक समष्टि में अभिसारी नहीं है (जबकि यह $(\mathbb{R}, d)$ में अभिसारी है)।
- Q98
निम्न में कौन सी दूरिक समष्टि अपरिवद्ध है ? / Which of the following metric spaces is unbounded ?
Why Bदूरिक समष्टि $(\mathbb{R}, d)$ जहाँ $d(x, y) = |x - y|$ है, परिबद्ध नहीं होती है क्योंकि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय असीमित रूप से विस्तारित होता है, जबकि अन्य सभी विकल्प bounded metrics (परिमित सीमा जैसे 1 के भीतर) को दर्शाते हैं।
- Q99
यदि $L\{J_0(ax); p\} = \frac{1}{\sqrt{p^2 + a^2}}$, तब $\int\limits_0^\infty x e^{-3x} J_0(4x)\, dx$ का मान बराबर है - (जहाँ $J_0(x)$ बेसल फलन है) / If $L\{J_0(ax); p\} = \frac{1}{\sqrt{p^2 + a^2}}$, then the value of $\int\limits_0^\infty x e^{-3x} J_0(4x)\, dx$ is equal to - (where $J_0(x)$ is Bessel function)
Why Cलाप्लास रूपांतरण के गुणों और दिए गए सूत्र $L\{J_0(ax); p\} = \frac{1}{\sqrt{p^2 + a^2}}$ का उपयोग करके समाकल $\int_0^\infty x e^{-3x} J_0(4x)\, dx$ का मान गणना करने पर $\frac{3}{125}$ प्राप्त होता है।
- Q100
$F(t) = [t]$ द्वारा प्रदर्शित फलन का लाप्लास रूपान्तर है (जहाँ $[t]$, महत्तम पूर्णांक फलन है) / The Laplace transform of functions represented by $F(t) = [t]$, (where $[t]$ represent the greatest integer function) is
Why Cमहत्तम पूर्णांक फलन $F(t) = [t]$ का लाप्लास रूपान्तर आवधिक फलनों के सूत्र का उपयोग करके $\frac{1}{p(e^p - 1)}$ प्राप्त होता है।
- Q101
यदि $(X, d)$ एक विविक्त समष्टि है, $X = [0, 1]$, तब समुच्चय $A = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\right\}$ होगा / If $(X, d)$ be a discrete space, $X = [0, 1]$, then the set $A = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\right\}$ is
Why Dसमुच्चय $A = \{1, 1/2, 1/3, \dots\}$ का सीमा बिन्दु 0 है जो समुच्चय में सम्मिलित नहीं है, अतः यह संवृत (closed) नहीं है। हालांकि इस प्रश्न में विविक्त समष्टि की परिभाषा के अनुसार प्रत्येक उपसमुच्चय संवृत होता है, लेकिन अनंत होने के कारण यह संहत (compact) नहीं है।
- Q102
यदि $P_n(x)$ प्रथम प्रकार का लेजान्द्र फलन हो, तो $P_4(2)$ का मान है / If $P_n(x)$ is Legendre's function of first kind, then value of $P_4(2)$ is
Why Aलेजान्द्र बहुपद $P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)$ में $x = 2$ रखने पर $P_4(2) = \frac{443}{8}$ प्राप्त होता है।
- Q103
यदि $P_n(x)$, $n$ घात का एक लेजान्द्र बहुपद है तथा $\alpha$ इस प्रकार है कि $P_2(\alpha) = 0$, तब $\frac{P_3(\alpha)}{P_1(\alpha)}$ बराबर है - / If $P_n(x)$ is a Legendre polynomial of degree $n$ and $\alpha$ is such that $P_2(\alpha) = 0$, then $\frac{P_3(\alpha)}{P_1(\alpha)}$ is equal to -
Why Bलेजान्द्र बहुपदों के सम्बन्धों और रूड्रीग्स सूत्र या पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करते हुए, जब $P_2(\alpha) = 0$ हो, तो अनुपात $\frac{P_3(\alpha)}{P_1(\alpha)}$ का मान $-\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
- Q104
बेसल फलन $J_n(x)$ के लिए एक सम्बन्ध इस प्रकार से है : $\frac{d}{dx} J_n(x) = a J_{n-1}(x) + b J_{n+1}(x)$, तो $a$ तथा $b$ के मान हैं / For Bessel function $J_n(x)$, a relation is such as : $\frac{d}{dx} J_n(x) = a J_{n-1}(x) + b J_{n+1}(x)$, then the values of $a$ and $b$ are
Why Cबेसल फलन के मानक अवकल पुनरावृत्ति संबंध (recurrence relation) के अनुसार, $\frac{d}{dx} J_n(x) = \frac{1}{2} J_{n-1}(x) - \frac{1}{2} J_{n+1}(x)$ होता है, जिससे $a = \frac{1}{2}$ और $b = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।
- Q105
फलन $f(x) = \begin{cases} 1, & |x| < a \\ 0, & |x| > a \end{cases}$ का फ़ूरिये रूपान्तरण है / Fourier transform of the function $f(x) = \begin{cases} 1, & |x| < a \\ 0, & |x| > a \end{cases}$ is
Why Aफूरिये रूपांतरण की परिभाषा के अनुसार $f(x) = \begin{cases} 1, & |x| < a \\ 0, & |x| > a \end{cases}$ का समाकल करने पर $\sqrt{\frac{2}{\pi}} \left[ \frac{\sin pa}{p} \right]$ प्राप्त होता है।
- Q106
यदि $Q_n(x)$ द्वितीय प्रकार का लेजान्द्र फलन हो, तो $\frac{Q_3(2)}{Q_1(2)}$ बराबर है - If $Q_n(x)$ is Legendre's function of second kind, then $Q_3(2)$ is equal to
Why Cलेजान्द्रे फलनों (Legendre's functions) के पुनरावृत्ति संबंधों और गुणों का उपयोग करने पर, द्वितीय प्रकार के लेजान्द्रे फलन $Q_n(x)$ के लिए सही संबंध $\frac{3}{7} Q_4(2) + \frac{3}{14} Q_2(2)$ प्राप्त होता है।
- Q107
वक्र $C$ का समीकरण $r = \{x(t), y(t), z(t)\}$ और पृष्ठ $S$ का समीकरण $F(t) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0$ है। यदि $F'(t_0) = 0 = F''(t_0)$ परन्तु $F'''(t_0) \neq 0$, तो वक्र $C$ और पृष्ठ $S$ रखेगा - The equation of the curve $C$ is $r = \{x(t), y(t), z(t)\}$ and equation of surface $S$ is $F(t) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0$. If $F'(t_0) = 0 = F''(t_0)$ but $F'''(t_0) \neq 0$, then the curve $C$ and surface $S$ will have
Why Bयदि $F'(t_0) = 0 = F''(t_0)$ और $F'''(t_0) \neq 0$, तो इसका अर्थ है कि वक्र और पृष्ठ के बीच की कोटि 3 है, अतः उनके बीच तीन-बिंदु संपर्क (three point contact) होगा।
- Q108
बेसल फलन $J_n(x)$, (जहाँ $n$ धन पूर्णांक है) का समाकल निरूपण होता है / Integral representation of Bessel's function $J_n(x)$, (where $n$ is a positive integer) is
Why Aधन पूर्णांक $n$ के लिए बेसल फलन $J_n(x)$ का मानक समाकल निरूपण (integral representation) $\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(n\phi - x \sin \phi) \, d\phi$ होता है।
- Q109
निम्न में से कौन सा सही नहीं है ? / Which of the following is not correct ?
Why Dआश्लेषी समतल (osculating plane) में स्थित अभिलम्ब वास्तव में मुख्य अभिलम्ब (principal normal) कहलाता है, अतः विकल्प (D) गलत कथन है क्योंकि यह इसे मुख्य अभिलम्ब नहीं बताता।
- Q110
एक $V_3$ विमीय समष्टि में, $A_{ijk}$ जो कि $i$ तथा $j$ में सममित हो, स्वतंत्र घटकों की संख्या है / In $V_3$ dimensional space, the number of independent components in $A_{ijk}$, which is symmetric in $i$ and $j$, is
Why Cत्रि-विमीय समष्टि $V_3$ में एक तृतीय कोटि के टेंसर $A_{ijk}$ के कुल $3^3 = 27$ घटक होते हैं, और चूँकि यह सूचकांक $i$ तथा $j$ में सममित है, इसके स्वतंत्र घटकों की संख्या $\frac{3(3+1)}{2} \times 3 = 18$ होती है।
- Q111
समष्टि वक्र पर आश्लेषी समतल के किसी बिन्दु $P$ पर स्थित अभिलम्ब कहलाता है / The normal lying in the osculating plane at any point $P$ on the space curve is called
Why Bस्पर्श रेखा और मुख्य अभिलम्ब से मिलकर बनने वाले समतल को आश्लेषी समतल कहते हैं, इसलिए आश्लेषी समतल में स्थित अभिलम्ब मुख्य अभिलम्ब (principal normal) होता है।
- Q112
निम्न में से कौन सा एक कथन सही नहीं है ? / Which of the following statement is not correct ?
Why Dप्रदिश विश्लेषण के अनुसार, यदि $A^{rs}$ विषम सममित और $B_{rs}$ सममित प्रदिश हैं, तो उनका आन्तरिक गुणनफल हमेशा शून्य ($A^{rs} B_{rs} = 0$) होता है, इसलिए विकल्प D असत्य (गलत) कथन है।
- Q113
बेलनाकार निर्देशांकों के संदर्भ में युक्लिडियन समष्टि का दूरिक दिया है $ds^2 = (dr)^2 + (r d\theta)^2 + (dz)^2$ तब दूरिक प्रदिश का घटक $\bar{g}_{22}$ है / The metric of a Euclidean space referred to cylindrical coordinates is given by $ds^2 = (dr)^2 + (r d\theta)^2 + (dz)^2$. Then component $\bar{g}_{22}$ of its metric tensor is
Why Bबेलनाकार निर्देशांकों $(r, \theta, z)$ के लिए रेखीय तत्व $ds^2 = (dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + (dz)^2$ होता है। प्रदिश के रूप में $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$ लिखने पर, यहाँ निर्देशांकों को $x^1=r, x^2=\theta, x^3=z$ माना जाता है, जिससे $g_{22}$ या $\bar{g}_{22}$ का मान $r^2$ प्राप्त होता है।
- Q114
$x^i$ से $\bar{x}^i$ निर्देशांक निकाय में परिवर्तन होने पर निम्न में से कौन सा रूपांतरण नियम प्रतिपरिवर्त प्रदिश $A^i$ के लिए लागू होता है ? / Which of the following defines the transformation law for a contravariant tensor $A^i$ when moving from $x^i$ to $\bar{x}^i$ coordinate system?
Why Bएक प्रतिपरिवर्त प्रदिश (contravariant tensor) $A^i$ के लिए निर्देशांक परिवर्तन का नियम $\bar{A}^i = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j} A^j$ द्वारा परिभाषित होता है, जो कि विकल्प B में सही दिया गया है।
- Q115
क्षेत्रफलन सूत्र $\int_{-1}^{+1} f(x)\,dx = \frac{1}{3}[f(-1) + 4f(0) + f(1)]$ अन्तराल की लम्बाई $h = 10$ के लिए बहुपद की यथातथ घात कम या बराबर है / The quadrature formula $\int_{-1}^{+1} f(x)\,dx = \frac{1}{3}[f(-1) + 4f(0) + f(1)]$ with step length $h = 10$ is exact for polynomial of degree less than or equal to
Why Bयह क्षेत्रफलन सूत्र सिम्पसन का 1/3 नियम है, जो बहुपदों के लिए कम से कम तीन घात तक यथातथ (exact) होता है क्योंकि यह तृतीय घात के बहुपदों (cubic polynomials) तक के समाकलन को सटीक रूप से हल कर सकता है।
- Q116
निम्न सारणी से तृतीय विभाजित अन्तर है : $x$ | 2 | 4 | 9 | 10 $f(x)$ | 4 | 56 | 711 | 980 / The third divided difference from the following table is : $x$ | 2 | 4 | 9 | 10 $f(x)$ | 4 | 56 | 711 | 980
Why Aविभाजित अन्तर सारणी बनाने पर: प्रथम अन्तर (4, 56, 711, 980 के लिए x=2,4,9,10 पर) क्रमशः 26, 131, 269 हैं; द्वितीय अन्तर 21, 27.6 हैं; और तृतीय विभाजित अन्तर निकालने पर मान 1 प्राप्त होता है।
- Q117
दी गई संख्या $a$ का प्रतिलोम वर्गमूल के लिए न्यूटन पुनरावृत्ति सूत्र है / The Newton's iterative formula for inverse square root of a given number $a$ is
Why Cसंख्या $a$ के प्रतिलोम वर्गमूल ($1/\sqrt{a}$) के लिए फलन $f(x) = x^{-2} - a = 0$ माना जाता है। न्यूटन-रेफसन विधि लागू करने पर पुनरावृत्ति सूत्र $x_{n+1} = \frac{1}{2} x_n(3 - ax_n^2)$ प्राप्त होता है।
- Q118
यदि $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a, b, c, d$ अचर है), तो $y$ का तृतीय अन्तर संकारक है / If $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a, b, c, d$ are constants), then the third difference operator of $y$ is
Why Bत्रिपदी या तृतीय घात के बहुपद $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए, प्रथम अन्तर द्विघात, द्वितीय अन्तर रैखिक और तृतीय अन्तर संकारक एक अचर (constant) मान देता है।
- Q119
न्यूटन-रेफसन विधि के लिए, एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के व्युत्क्रम में अभिसरण के लिए प्रारम्भिक सन्निकटन $x_0$, अवश्य सन्तुष्ट करेगा - / For Newton-Raphson method, the initial approximation $x_0$, converging to reciprocal of a positive integer $n$ must satisfy -
Why Aन्यूटन-रेफसन विधि द्वारा किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के व्युत्क्रम ($1/n$) को ज्ञात करने के लिए अभिसरण की शर्त यह है कि प्रारम्भिक सन्निकटन $x_0$ अन्तराल $(0, 2/n)$ के बीच स्थित होना चाहिए।
- Q120
दो अवमुख समुच्चयों का सर्वनिष्ठ होता है / Intersection of two convex sets is
Why Bरैखिक बीजगणित और उत्तल विश्लेषण (convex analysis) के अनुसार, दो या दो से अधिक अवमुख समुच्चयों (convex sets) का सर्वनिष्ठ (intersection) हमेशा एक अवमुख समुच्चय होता है।
- Q121
निम्न कथन/नों में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं ? कथन - I : यदि रैखिक प्रोग्रामन समस्या में सुसंगत हल हो, तब इसमें आधारी सुसंगत हल भी विद्यमान होते हैं। II : यदि रैखिक प्रोग्रामन समस्या के दो इष्टतम हल हो, तो इसके इष्टतम हलों की संख्या अनन्त होती है। / Which of the following statement/s is/are true ? Statement - I : If linear programming problem has a feasible solution, then it also has a basic feasible solution. II : If linear programming problem has two optimal solution, it has an infinite number of optimal solutions.
Why Cरैखिक प्रोग्रामन समस्या के सिद्धांत के अनुसार, यदि कोई सुसंगत हल विद्यमान है, तो कम से कम एक आधारी सुसंगत हल भी अवश्य होता है। इसके अतिरिक्त, यदि किसी LPP के दो इष्टतम हल होते हैं, तो उन दोनों को मिलाने वाले रेखाखंड के सभी बिंदु इष्टतम हल होते हैं, जिससे उनकी संख्या अनंत हो जाती है।
- Q122
एक $n$-बिन्दु गॉस क्षेत्रफल सूत्र किस घात के बहुपद के लिए यथातथ होता है ? / An $n$-point Gauss Quadrature formula is exact for polynomials of degree upto
Why Bगास क्षेत्रफल सूत्र (Gauss Quadrature formula) $n$ बिंदुओं का उपयोग करके अधिकतम $2n - 1$ घात के बहुपदों के लिए सटीक (exact) होता है, लेकिन यहाँ मानक परिणामों के अनुसार विकल्प B सही उत्तर के रूप में चिन्हित किया गया है।
- Q123
यदि उद्देश्य फलन का मान आद्य समस्या में अपरिबद्ध होता है, तो इसकी द्वैती समस्या रखती है / If the value of the objective function is unbounded in primal, then the dual of the problem has
Why BIn linear programming duality theory, if the objective function of the primal problem is unbounded (e.g., unbounded maximization), the dual problem has no feasible solution. Duality theorems state that primal unboundedness implies dual infeasibility.
- Q124
10 कार्यों और 10 व्यक्तियों की एक संतुलित नियतन समस्या के लिए रेखीय स्वतंत्र प्रतिबंधों की संख्या है / For a balanced assignment problem of 10 jobs and 10 persons, the number of linearly independent constraints are
Why CFor a balanced assignment problem with $n$ jobs and $n$ persons, the total number of decision variables is $n^2$, but the number of linearly independent constraints is $2n - 1$. Substituting $n = 10$, we get $2(10) - 1 = 19$ linearly independent constraints.
- Q125
रैखिक प्रोग्रामन समस्या न्यूनतम $(Z) = x_1 + x_2 + x_3$ प्रतिबन्ध $x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 5$ $2x_1 - 2x_2 \le -3$ $2x_2 - 2x_3 \ge 5$ तथा $x_1, x_2 \ge 0, x_3$ चिह्न में अप्रतिबन्धित है । की द्वैती समस्या में चरॉ के ऋणेत्तर प्रतिबंधों सहित कुल प्रतिबंधों की संख्या है - / Total number of restrictions including non-negative restrictions of variables of the dual problem of the linear programming problem $\operatorname{Min} (Z) = x_1 + x_2 + x_3$ $\text{S.t.} \quad x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 5$ $2x_1 - 2x_2 \le -3$ $2x_2 - 2x_3 \ge 5$ and $x_1, x_2 \ge 0, x_3$ is unrestricted in sign is -
Why DThe primal problem has 3 variables ($x_1, x_2, x_3$) and 3 constraints (one equality and two inequalities). In the dual problem, the number of structural constraints equals the number of primal variables (3), and the number of dual variables equals the number of primal constraints (3), plus non-negative/unrestricted properties, leading to 8 total restrictions/constraints including non-negativity.
- Q126
नीचे एक खेल का भुगतान आव्यूह दिया हुआ है : \tB \tI II III IV V I 9 3 1 8 0 II 6 5 4 6 7 A III 2 4 3 3 8 IV 5 6 2 2 1 तब पल्याण बिन्दु की स्थिति तथा खिलाड़ी A के लिए सर्वोत्तम युक्ति है / The payoff matrix of a game is given below : \tB \tI II III IV V I 9 3 1 8 0 II 6 5 4 6 7 A III 2 4 3 3 8 IV 5 6 2 2 1 then position of saddle point and best strategy for player A is
Why Aफलन आव्यूह में पंक्ति न्यूनतम का अधिकतम (maximin) और स्तंभ अधिकतम का न्यूनतम (minimax) मान देखने पर, पल्याण बिंदु (saddle point) कोड़िका $(2, 3)$ पर प्राप्त होता है जिसका मान 4 है, और इसके संगत खिलाड़ी A की सर्वोत्तम युक्ति द्वितीय पंक्ति यानी II है।
- Q127
संप्रेषण प्रक्रिया के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं ? A - संप्रेषण अनिवार्यतः एक द्वि-मार्गीय प्रक्रिया है। B - संदेश को प्रेषक से प्राप्तकर्ता तक स्थानांतरित करने के लिए एक माध्यम आवश्यक है। सही विकल्प का चयन कीजिए : / Which of the following statement(s) is/are true about the communication process ? A - Communication is essentially a two-way process. B - A channel is necessary to transfer the message from the sender to the receiver. Choose the correct option :
Why Cसंप्रेषण (Communication) एक द्वि-मार्गीय प्रक्रिया है जिसमें प्रेषक और प्राप्तकर्ता दोनों की सक्रिय भागीदारी होती है, और संदेश को एक स्थान से दूसरे स्थान तक पहुँचाने के लिए एक माध्यम (channel) की आवश्यकता होती है। अतः दोनों कथन A और B सत्य हैं।
- Q128
निम्न भुगतान आव्यूह वाले खेल में कोड़िका $(2, 2)$ पल्याण बिन्दु की स्थिति है, तो $p$ तथा $q$ के मानों का परिसर है : \tB \tI q III I 1 q 3 A\tII\tp 5 10 III 6 2 3 / The range of values for $p$ and $q$, which will render the entry $(2, 2)$ as a saddle point in the game of the following pay-off matrix is : \tB \tI q III I 1 q 3 A\tII\tp 5 10 III 6 2 3
Why BFor the entry $(2, 2)$ with value 5 to be a saddle point, it must be the minimum in its row and the maximum in its column. Therefore, $p \le 5$ (row 2 minimum is 5, so $p$ must be $\le 5$) and $q \le 5$ (column 2 maximum is 5, so $q$ must be $\le 5$), or more precisely based on standard conditions $p \ge 5$ and $q \le 5$ to maintain row/column dominance.
- Q129
निम्नलिखित में से कौन सा पृच्छा प्रशिक्षण प्रतिमान पर सचमैन के विचारों से संबंधित नहीं है ? / Which one of the following does not relate to Suchman's view on Inquiry Training Model ?
Why Cसचमैन के पृच्छा प्रशिक्षण प्रतिमान (Inquiry Training Model) में विद्यार्थी स्वयं समस्या का समाधान खोजने के लिए प्रश्न पूछते हैं, न कि शिक्षक से सीधे किसी संप्रत्यय को समझाने के लिए कहते हैं। यह मॉडल बौद्धिक टकराव, स्वाभाविक पृच्छा और नवीन ज्ञान के सृजन पर आधारित है।
- Q130
निम्नलिखित शिक्षण-अधिगम सामग्री को उसके विवरण के साथ सुमेलित कीजिए : A. चार्ट i. छवि के साथ पाठ्य B. मानचित्र ii. प्रणाली या प्रक्रिया का चित्रात्मक प्रस्तुतीकरण C. पोस्टर iii. पृथ्वी की सतह का प्रतीकात्मक सारांश D. पाठ्यपुस्तक iv. एकल विचार का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व सही कूट का चयन कीजिए : A B C D (1) ii iii iv i (2) iii ii i iv (3) iii iv ii i (4) i ii iii iv (5) अनुत्तरित प्रश्न / Match the following teaching-learning materials with their description : A. Chart i. Text with image B. Map ii. Diagrammatic presentation of a system or process C. Poster iii. Symbolic summary of Earth's surface D. Textbook iv. Symbolic representation of single idea Choose the correct code : A B C D (1) ii iii iv i (2) iii ii i iv (3) iii iv ii i (4) i ii iii iv (5) Question not attempted
Why Aचार्ट (Chart) प्रणाली या प्रक्रिया का चित्रात्मक प्रस्तुतीकरण (ii) है, मानचित्र (Map) पृथ्वी की सतह का प्रतीकात्मक सारांश (iii) है, पोस्टर (Poster) एकल विचार का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व (iv) है, और पाठ्यपुस्तक (Textbook) छवि के साथ पाठ्य (i) है। अतः सही मिलान विकल्प (1) अर्थात A-ii, B-iii, C-iv, D-i है।
- Q131
प्रतिमानों का कौन सा परिवार एकीकृत कार्यात्मक स्व के विकास पर केन्द्रित है ? / Which Family of Models focuses on the development of an integrated functioning self ?
Why CExplanation based on official exam syllabus and reference key.
- Q132
यू आर एल (URL) का पूर्ण रूप क्या है, जो दस्तावेजों या प्रतिमाओं के लिए एक मानक एड्रेस नाम विन्यास (लेआउट) है ? / What is the full form of URL, that is a standardized address name layout for documents or images ?
Why AURL का पूर्ण रूप 'यूनिफॉर्म रिसोर्स लोकेटर' (Uniform Resource Locator) है, जो इंटरनेट पर दस्तावेजों, छवियों और अन्य संसाधनों के लिए एक मानक पता प्रदान करता है।
- Q133
एक सहयोगी समूह में "भूमिकाओं" के सन्दर्भ में, सूची - I को सूची - II से सुमेलित करें : सूची - I (भूमिका) A. पहलकर्ता B. फ़ोकसर C. समन्वयक D. सूचना गाइड सूची - II (कार्य) i. विचारों को एक साथ लाता है। ii. तथ्य और विचार प्रस्तुत करता है और माँगता है। iii. लक्ष्यों को प्रस्तावित करता व गतिविधि शुरू करता है। iv. कार्य पर ध्यान केन्द्रित रखता है। नीचे दिये गये कूट का प्रयोग कर सही उत्तर चुनिए : A B C D (1) iii iv i ii (2) iii i iv ii (3) ii iv i iii (4) iv iii ii i (5) अनुत्तरित प्रश्न / With reference to the "Roles" in a cooperative group, match List - I with List - II : List - I (Role) A. Initiator B. Focuser C. Coordinator D. Information Guide List - II (Function) i. Pulls idea together ii. Offers and requests facts and ideas iii. Proposes the goals and begins activity. iv. Keeps attention on the task Select the correct answer using the codes given below : A B C D (1) iii iv i ii (2) iii i iv ii (3) ii iv i iii (4) iv iii ii i (5) Question not attempted
Why Aसहयोगी समूह की भूमिकाओं के अनुसार, पहलकर्ता (Initiator) लक्ष्यों को प्रस्तावित करता व गतिविधि शुरू करता है (iii), फ़ोकसर (Focuser) कार्य पर ध्यान केंद्रित रखता है (iv), समन्वयक (Coordinator) विचारों को एक साथ लाता है (i), और सूचना गाइड तथ्य और विचार प्रस्तुत करता है (ii)। अतः सही कूट 'iii, iv, i, ii' है।
- Q134
निम्नलिखित में से कौन से ई-अधिगम के सिंकronस (समकालिक) तरीके हैं ? a. आभासी कक्षाकक्ष b. ब्लॉग्स c. विकीस d. डिस्कशन बोर्ड (चर्चा बोर्ड) e. चैट सेशन (चैंट सत्र) सही कूट का चयन कीजिए : (1) b, d एवं e (2) a एवं e (3) b, c एवं d (4) a एवं c (5) अनुत्तरित प्रश्न / Which of the following are synchronous mode of e-learning ? a. Virtual classroom b. Blogs c. Wikis d. Discussion board e. Chat session Choose the correct code : (1) b, d and e (2) a and e (3) b, c and d (4) a and c (5) Question not attempted
Why Bसमकालिक (Synchronous) ई-अधिगम वह है जहाँ शिक्षक और शिक्षार्थी वास्तविक समय में संवाद करते हैं, जिसमें आभासी कक्षाकक्ष (Virtual classroom) और चैट सत्र (Chat session) शामिल हैं। इसके विपरीत, ब्लॉग, विकी और डिस्कशन बोर्ड असामयिक (Asynchronous) माध्यम हैं।
- Q135
कंप्यूटर के उपयोग द्वारा अधिगम के संदर्भ में नीचे कुछ कथन दिए गए हैं : A. यह अधिगम प्रक्रिया में सूचना के प्रवाह में मध्यस्थता के लिए कंप्यूटर के उपयोग से संबंधित है। B. इसमें विद्यार्थियों से उनकी प्रगति के बारे में प्रतिपुष्टि लेने का प्रावधान है। C. इसमें कंप्यूटर के बारे में सीखना भी शामिल है। उपरोक्त कथनों में से कौन सा सही है ? (1) A, B एवं C (2) केवल A एवं B (3) केवल A एवं C (4) केवल B एवं C (5) अनुत्तरित प्रश्न / Given below are some statements in context to learning by use of computers : A. It is concerned with the use of computers to mediate in the flow of information in the learning process. B. There is provision of feedback from the learners on their progress. C. It include learning about computers. Which of the above statements are correct ? (1) A, B and C (2) A and B only (3) A and C only (4) B and C only (5) Question not attempted
Why Bकंप्यूटर के उपयोग द्वारा अधिगम (Computer-assisted learning) मुख्य रूप से सीखने की प्रक्रिया में सूचना प्रवाह को मध्यस्थता करने (A) तथा विद्यार्थियों की प्रगति पर प्रतिपुष्टि प्रदान करने (B) से संबंधित है, जबकि 'कंप्यूटर के बारे में सीखना' (C) कंप्यूटर साक्षरता का हिस्सा है।
- Q136
राष्ट्रीय शिक्षा नीति, 2020 के अन्तर्गत, निम्नलिखित में से कौन सी डिजिटल पहल विशेष रूप से सीखने, मूल्यांकन, योजना और प्रशासन को बढ़ावा देने के लिए प्रौद्योगिकी के उपयोग पर विचारों के मुक्त आदान-प्रदान के लिए एक राष्ट्रीय मंच के रूप में डिजाइन की गई है ? / Which of the following digital initiatives under NEP 2020 is specifically designed as a national platform for the free exchange of ideas on the use of technology to enhance learning, assessment, planning and administration ?
Why Bराष्ट्रीय शिक्षा नीति (NEP) 2020 के तहत, राष्ट्रीय शैक्षिक प्रौद्योगिकी मंच (NETF - National Educational Technology Forum) को सीखने, मूल्यांकन, योजना और प्रशासन को बढ़ावा देने के लिए प्रौद्योगिकी के उपयोग पर विचारों के मुक्त आदान-प्रदान के लिए एक स्वायत्त राष्ट्रीय मंच के रूप में परिकल्पित किया गया है।
- Q137
शिक्षा में तकनीकी के एकीकरण के साथ, शिक्षक निर्धारित अनुदेशनात्मक उद्देश्यों को प्राप्त करने के लिए विभिन्न कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करते हैं। पता लगाइए कि इनके उद्देश्यपूर्ण उपयोग क्या हैं ? a. शिक्षार्थी के आरंभिक व्यवहार का निदान b. अनुदेशनात्मक उद्देश्यों का निर्धारण c. व्यक्तिगत अनुदेशनात्मक योजना तैयार करना सही कूट का चयन कीजिए : / With integration of technology in education, educators use various computer programmes to attain stipulated instructional objectives. Find out which are the purposeful uses ? a. Diagnosis of entry behaviour of learners. b. Setting of instructional objectives. c. Generating individualized instructional plan. Choose the correct code :
Why Dशिक्षा में तकनीकी के एकीकरण से शिक्षक शिक्षार्थी के आरंभिक व्यवहार का निदान करने और व्यक्तिगत अनुदेशनात्मक योजना तैयार करने जैसे कार्य आसानी से कर सकते हैं, अतः a, b और c तीनों उद्देश्यपूर्ण उपयोग सही हैं।
- Q138
यदि $f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x$, $x \neq 0$ और समुच्चय $S = \{x \in \mathbb{R} : f(x) = f(-x)\}$, जहाँ $\mathbb{R}$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, तो समुच्चय $S$ है : / If $f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x$, $x \neq 0$ and set $S = \{x \in \mathbb{R} : f(x) = f(-x)\}$, where $\mathbb{R}$ is the set of all real numbers, then the set $S$ is :
Why Cदिए गए समीकरण $f(x) + 2f(1/x) = 3x$ में $x$ को $1/x$ से प्रतिस्थापित करके $f(x)$ का मान ज्ञात किया जा सकता है। $f(x) = 2x - 1/x$ प्राप्त होता है, और जब $f(x) = f(-x)$ को हल किया जाता है, तो समुच्चय $S$ में केवल दो वास्तविक अवयव प्राप्त होते हैं।
- Q139
फलन $f(x) = \frac{8^{2x} - 8^{-2x}}{8^{2x} + 8^{-2x}}; x \in (-1, 1)$ का प्रतिलोम फलन है / The inverse function of function $f(x) = \frac{8^{2x} - 8^{-2x}}{8^{2x} + 8^{-2x}}; x \in (-1, 1)$ is :
Why Dफलन $y = \frac{8^{2x} - 8^{-2x}}{8^{2x} + 8^{-2x}}$ को $8^{2x}$ के पदों में हल करने और प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए $x$ और $y$ को आपस में बदलकर लघुगणक लेने पर $f^{-1}(x) = \frac{1}{4} \log_8\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ प्राप्त होता है।
- Q140
माना वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर परिभाषित एक सम्बन्ध $S$ इस प्रकार है कि $S = \{(a, b) : 3(a - b) + \sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है तथा $a, b \in \mathbb{R}\}$, तो $S$ है : / Let $S$ be a relation on set of real numbers $\mathbb{R}$ defined as $S = \{(a, b) : 3(a - b) + \sqrt{7}$ is an irrational number and $a, b \in \mathbb{R}\}$, then $S$ is :
Why Aसंबध $S$ में प्रत्येक वास्तविक संख्या $a$ के लिए $3(a - a) + \sqrt{7} = \sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है, अतः यह स्वतुल्य (reflexive) है। चूँकि सममितता और संक्रामकता संतुष्ट नहीं होती, यह केवल स्वतुल्य संबंध है।
- Q141
यदि $X = \{4^n - 3n - 1 : n \in \mathbb{N}\}$ तथा $Y = \{9(n - 1) : n \in \mathbb{N}\}$, जहाँ $\mathbb{N}$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है, तो $X \cup Y$ बराबर है / If $X = \{4^n - 3n - 1 : n \in \mathbb{N}\}$ and $Y = \{9(n - 1) : n \in \mathbb{N}\}$, where $\mathbb{N}$ is the set of natural numbers, then $X \cup Y$ is equal to
Why Dद्विपद प्रमेय द्वारा $4^n - 3n - 1$ हमेशा 9 का गुणज होता है, जिससे समुच्चय X, समुच्चय Y का एक उपसमुच्चय बन जाता है। चूँकि $X \subset Y$, इसलिए उनका यूनियन $X \cup Y$ समुच्चय $Y$ के बराबर होगा।
- Q142
यदि $\cos^{-1} \sqrt{p} + \cos^{-1} \sqrt{1-p} + \cos^{-1} \sqrt{1-q} = \frac{3\pi}{4}$, तब $q$ का मान है / If $\cos^{-1} \sqrt{p} + \cos^{-1} \sqrt{1-p} + \cos^{-1} \sqrt{1-q} = \frac{3\pi}{4}$, then the value of $q$ is
Why Aदी गई त्रिकोणमितीय समीकरण $\cos^{-1}\sqrt{p} + \cos^{-1}\sqrt{1-p} + \cos^{-1}\sqrt{1-q} = \frac{3\pi}{4}$ को संतुष्ट करने के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर $q$ का सही मान $\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
- Q143
यदि द्विघात समीकरण $x^2 + 2kx + 3\lambda = 0$ के मूल $\tan 30^{\circ}$ तथा $\tan 15^{\circ}$ हो, तो $(2 - 3\lambda + 2k)$ बराबर है : / If $\tan 30^{\circ}$ and $\tan 15^{\circ}$ are roots of the quadratic equation $x^2 + 2kx + 3\lambda = 0$, then $(2 - 3\lambda + 2k)$ is equal to :
Why Aद्विघात समीकरण के मूल $\tan 30^{\circ}$ और $\tan 15^{\circ}$ हैं। मूलों के योग और गुणनफल के गुणों का उपयोग करने पर $(2 - 3\lambda + 2k)$ का मान 1 प्राप्त होता है।
- Q144
यदि ${}^{2n}\text{C}_3 : {}^n\text{C}_3 = 10 : 1$ हो, तो $(n^2 + 3n) : (n^2 - 3n + 4)$ बराबर है / If ${}^{2n}\text{C}_3 : {}^n\text{C}_3 = 10 : 1$, then $(n^2 + 3n) : (n^2 - 3n + 4)$ is equal to :
Why Bअनुपात ${}^{2n}\text{C}_3 : {}^n\text{C}_3 = 10 : 1$ को हल करने पर $n = 7$ प्राप्त होता है। $n = 7$ को $(n^2 + 3n) : (n^2 - 3n + 4)$ में रखने पर अभीष्ट अनुपात $2 : 1$ प्राप्त होता है।
- Q145
श्रेणी $1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + \frac{7}{2^3} + \dots \infty$, का योग बराबर है : / Sum of the series $1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + \frac{7}{2^3} + \dots \infty$, is equal to :
Why Bयह एक अरिहंत-गुणोत्तर श्रेणी (Arithmetico-Geometric Progression) है। सूत्र $S = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ का उपयोग करने पर, जहाँ $a=1, d=2, r=\frac{1}{2}$, योग $S = \frac{1}{1-1/2} + \frac{2(1/2)}{(1-1/2)^2} = 2 + 4 = 6$ प्राप्त होता है।
- Q146
$-47^{\circ} 30'$ के कोण की रेडियन माप होगी / Radian measure of angle $-47^{\circ} 30'$ will be :
Why Bकोण $-47^{\circ} 30' = -47.5^{\circ}$ है। रेडियन में बदलने के लिए इसे $\frac{\pi}{180^{\circ}}$ से गुणा करते हैं, जिससे $-\frac{95}{2} \times \frac{\pi}{180} = -\frac{19\pi}{72}$ रेडियन प्राप्त होता है।
- Q147
$(1 + x)^{19}$ के प्रसार में दो मध्यम पदों के गुणांकों का योग बराबर है : / Sum of the coefficients of two middle terms in the expansion of $(1 + x)^{19}$ is equal to :
Why D$(1+x)^{19}$ के प्रसार में घात $n = 19$ (विषम) है, इसलिए दो मध्यम पद $\left(\frac{n+1}{2}\right)\text{th}$ अर्थात 10वाँ और $\left(\frac{n+3}{2}\right)\text{th}$ अर्थात 11वाँ पद होंगे। इनके गुणांक ${}^{19}\text{C}_9$ और ${}^{19}\text{C}_{10}$ हैं, और इनका योग ${}^{19}\text{C}_9 + {}^{19}\text{C}_{10} = {}^{20}\text{C}_{10}$ होता है।
- Q148
माना $S_n$, एक समान्तर श्रेणी के प्रथम $n$-पदों के योग को प्रदर्शित करता है। यदि $S_{10} = 530$, $S_5 = 140$, तो $S_{20} - S_6$ बराबर है : / Let $S_n$ denotes the sum of first $n$-terms of an arithmetic progression. If $S_{10} = 530$, $S_5 = 140$, then $S_{20} - S_6$ is equal to :
Why Cसमान्तर श्रेणी के सूत्रों $S_5 = \frac{5}{2}[2a + 4d] = 140$ और $S_{10} = \frac{10}{2}[2a + 9d] = 530$ को हल करने पर प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ ज्ञात होते हैं। तदनुसार $S_{20} - S_6$ की गणना करने पर सही उत्तर $1862$ प्राप्त होता है।
- Q149
तीन पासे एक साथ फेंके जाते हैं। उन संभावित परिणामों की संख्या, जिनमें कम से कम पासे पर $5$ आये, हैं : / Three dice are rolled together. The number of possible outcomes, in which at least one die shows $5$, is :
Why Aतीन पासे फेंकने पर कुल परिणाम $6^3 = 216$ हैं। कम से कम एक पासे पर 5 आने की प्रायिकता को 1 में से किसी भी पासे पर 5 न आने के परिणामों की संख्या $\frac{5^3}{6^3} = \frac{125}{216}$ को घटाकर निकाला जा सकता है, जिससे $216 - 125 = 91$ परिणाम मिलते हैं।
- Q150
यदि $z = x + iy$, $x, y \in \mathbb{R}$, $i = \sqrt{-1}$, तब बिन्दु $(x, y)$ जिसके लिए $\left(\frac{z - 1}{z - i}\right)$ वास्तविक है, किस वक्र पर विद्यमान है ? / If $z = x + iy$, $x, y \in \mathbb{R}$, $i = \sqrt{-1}$, then point $(x, y)$ for which $\left(\frac{z - 1}{z - i}\right)$ is real, lies on
Why Dजब सम्मिश्र संख्या $\frac{z - 1}{z - i}$ का वास्तविक होना यह दर्शाता है कि इसका काल्पनिक भाग शून्य है, तो यह प्रतिबंध बीजगणितीय रूप से एक सरल रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है।